Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa esboçar o gráfico da função
. Isso envolve usar conhecimentos de álgebra e cálculo, como encontrar o domínio, interceptos, derivadas para identificar máximos e mínimos, e analisar a forma geral da curva. Vamos precisar entender conceitos básicos de funções, raízes quadradas e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função, ou seja, quais valores de
a gente pode colocar sem ter problemas matemáticos. Olha só, dentro da raiz quadrada tem
. A raiz só quer números não negativos, então:
Resolvendo essa inequação:
Então, nosso domínio é de
a
.
Passo 3
Agora, vamos achar os interceptos da função, ou seja, onde a curva cruza os eixos
e
.
- Intercepto com o eixo
: onde .
Isso acontece quando
ou
. A segunda parte dá
, então
ou
.
Portanto, os interceptos com o eixo
são
,
e
.
- Intercepto com o eixo
: onde .
Então, o único intercepto com o eixo
é
.
Passo 4
Vamos analisar a simetria da função. Se substituir
por
na função:
Isso mostra que a função é ímpar, ou seja, simétrica em relação à origem.
Passo 5
Agora, vamos encontrar as derivadas para identificar onde a função tem máximos ou mínimos. Primeiro, calculamos a primeira derivada
.
Usando a regra do produto:
Então, a derivada primeira é:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos
:
Então, temos pontos críticos em
e
.
Passo 6
Vamos determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos calculando a segunda derivada
.
Primeiro, simplificamos
:
Calculando a segunda derivada usando a regra do produto e da cadeia:
Fica um pouco complicado, mas o importante é que podemos analisar o sinal da derivada primeira ao redor dos pontos críticos para ver se são máximos ou mínimos.
-
Para
: - Se a derivada muda de positiva para negativa, é um máximo.
-
Para
: - Se a derivada muda de negativa para positiva, é um mínimo.
Passo 7
Vamos calcular os valores de
nos pontos críticos:
- Para
:
- Para
:
Então, temos um máximo em
e um mínimo em
.
Passo 8
Vamos analisar o comportamento da função nos extremos do domínio:
- Quando
se aproxima de ou , a raiz se aproxima de zero, então também se aproxima de zero.
Isso significa que os pontos
e
são onde a função toca o eixo
e a curva se “vira” nesses pontos.
Passo 9
Resumindo tudo, vamos esboçar a curva:
- Domínio:
- Interceptos:
, , - Simetria: Impar, simétrica em relação à origem
- Máximo:
- Mínimo:
A curva começa no ponto
, desce até o mínimo em
, sobe novamente até o ponto
, continua subindo até o máximo em
e finalmente desce até
.
Resposta
O esboço da curva
possui interceptos nos pontos
,
e
, é simétrica em relação à origem, tem um ponto máximo em
e um mínimo em
. A curva inicia em
, desce até
, sobe passando por
, atinge o máximo em
e desce novamente até
.
Exercícios relacionados
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.
Para cada uma das funções a seguir, determine um inteiro
tal que
0 para algum
entre
e
.
.
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.
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