Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa esboçar o gráfico da função . Isso envolve usar conhecimentos de álgebra e cálculo, como encontrar o domínio, interceptos, derivadas para identificar máximos e mínimos, e analisar a forma geral da curva. Vamos precisar entender conceitos básicos de funções, raízes quadradas e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função, ou seja, quais valores de a gente pode colocar sem ter problemas matemáticos. Olha só, dentro da raiz quadrada tem . A raiz só quer números não negativos, então:
Resolvendo essa inequação:
Então, nosso domínio é de a .

Passo 3

Agora, vamos achar os interceptos da função, ou seja, onde a curva cruza os eixos e .
  • Intercepto com o eixo : onde .
Isso acontece quando ou . A segunda parte dá , então ou .
Portanto, os interceptos com o eixo são , e .
  • Intercepto com o eixo : onde .
Então, o único intercepto com o eixo é .

Passo 4

Vamos analisar a simetria da função. Se substituir por na função:
Isso mostra que a função é ímpar, ou seja, simétrica em relação à origem.

Passo 5

Agora, vamos encontrar as derivadas para identificar onde a função tem máximos ou mínimos. Primeiro, calculamos a primeira derivada .
Usando a regra do produto:
Então, a derivada primeira é:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos :
Então, temos pontos críticos em e .

Passo 6

Vamos determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos calculando a segunda derivada .
Primeiro, simplificamos :
Calculando a segunda derivada usando a regra do produto e da cadeia:
Fica um pouco complicado, mas o importante é que podemos analisar o sinal da derivada primeira ao redor dos pontos críticos para ver se são máximos ou mínimos.
  • Para :
    • Se a derivada muda de positiva para negativa, é um máximo.
  • Para :
    • Se a derivada muda de negativa para positiva, é um mínimo.

Passo 7

Vamos calcular os valores de nos pontos críticos:
  • Para :
  • Para :
Então, temos um máximo em e um mínimo em .

Passo 8

Vamos analisar o comportamento da função nos extremos do domínio:
  • Quando se aproxima de ou , a raiz se aproxima de zero, então também se aproxima de zero.
Isso significa que os pontos e são onde a função toca o eixo e a curva se “vira” nesses pontos.

Passo 9

Resumindo tudo, vamos esboçar a curva:
  • Domínio:
  • Interceptos: , ,
  • Simetria: Impar, simétrica em relação à origem
  • Máximo:
  • Mínimo:
A curva começa no ponto , desce até o mínimo em , sobe novamente até o ponto , continua subindo até o máximo em e finalmente desce até .

Resposta

O esboço da curva possui interceptos nos pontos , e , é simétrica em relação à origem, tem um ponto máximo em e um mínimo em . A curva inicia em , desce até , sobe passando por , atinge o máximo em e desce novamente até .

Exercícios relacionados

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.
Para cada uma das funções a seguir, determine um inteiro tal que 0 para algum entre e . .
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.