Use o roteiro desta seção para esboçar a curva. y = x^3 / (x^3 + 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar a curva da função . Para isso, vamos usar conceitos de funções racionais, assíntotas, interceptos e comportamento da função. Esses são os elementos que vão nos ajudar a desenhar o gráfico direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o domínio da função. O domínio são todos os valores de que a função pode assumir sem causar problemas, como divisão por zero. Aqui, o denominador é . Então, vamos resolver:
Então, o domínio é todos os números reais, exceto .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos da função, ou seja, onde a curva cruza os eixos e .
  • Intercepto com o eixo : ocorre quando .
    Então, o intercepto com o eixo é o ponto .
  • Interceptos com o eixo : ocorre quando .
    Isso só acontece quando o numerador é zero:
    Já identificamos que o intercepto é .

Passo 4

Vamos determinar as assíntotas da função.
  • Assíntota vertical: acontece onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero.
    Já vimos que faz o denominador zero, então temos uma assíntota vertical em .
  • Assíntota horizontal: analisamos o comportamento da função quando tende para ou .
    Olhando os graus dos polinômios no numerador e denominador, ambos são de grau 3. Assim, a assíntota horizontal é dada pelo coeficiente líder:
    Então, temos uma assíntota horizontal em .

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função em diferentes intervalos de .
  • Para :
    Quando aumenta, tanto quanto crescem, e se aproxima de 1.
  • Para :
    Quando diminui, fica negativo e tende a . Nesse caso, se aproxima de 1 também, mas de maneira diferente por causa do sinal negativo.

Passo 6

Por fim, vamos montar tudo para esboçar o gráfico:
  1. Plotar os interceptos: temos o ponto .
  2. Desenhar as assíntotas: uma linha vertical em e uma horizontal em .
  3. Analisar o comportamento da função:
    • À direita de , a curva se aproxima de conforme cresce.
    • À esquerda de , a curva também se aproxima de conforme diminui.
  4. Conectar os pontos respeitando os comportamentos observados.

Resposta

Com todos esses elementos, o esboço da curva de apresenta uma assíntota vertical em , uma assíntota horizontal em , e passa pela origem . A curva se aproxima da linha tanto quando vai para quanto para , respeitando a direcionamento indicado pelas assíntotas.

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