Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar a curva da função
. Para isso, vamos usar conceitos de funções racionais, assíntotas, interceptos e comportamento da função. Esses são os elementos que vão nos ajudar a desenhar o gráfico direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
que a função pode assumir sem causar problemas, como divisão por zero. Aqui, o denominador é
. Então, vamos resolver:
Então, o domínio é todos os números reais, exceto
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos da função, ou seja, onde a curva cruza os eixos
e
.
-
Intercepto com o eixo
: ocorre quando . Então, o intercepto com o eixoé o ponto . -
Interceptos com o eixo
: ocorre quando . Isso só acontece quando o numerador é zero:Já identificamos que o intercepto é.
Passo 4
Vamos determinar as assíntotas da função.
-
Assíntota vertical: acontece onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero.Já vimos que
faz o denominador zero, então temos uma assíntota vertical em . -
Assíntota horizontal: analisamos o comportamento da função quando
tende para ou . Olhando os graus dos polinômios no numerador e denominador, ambos são de grau 3. Assim, a assíntota horizontal é dada pelo coeficiente líder:Então, temos uma assíntota horizontal em.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função em diferentes intervalos de
.
-
Para
: Quandoaumenta, tanto quanto crescem, e se aproxima de 1. -
Para
: Quandodiminui, fica negativo e tende a . Nesse caso, se aproxima de 1 também, mas de maneira diferente por causa do sinal negativo.
Passo 6
Por fim, vamos montar tudo para esboçar o gráfico:
- Plotar os interceptos: temos o ponto
. - Desenhar as assíntotas: uma linha vertical em
e uma horizontal em . - Analisar o comportamento da função:
- À direita de
, a curva se aproxima de conforme cresce. - À esquerda de
, a curva também se aproxima de conforme diminui.
- À direita de
- Conectar os pontos respeitando os comportamentos observados.
Resposta
Com todos esses elementos, o esboço da curva de
apresenta uma assíntota vertical em
, uma assíntota horizontal em
, e passa pela origem
. A curva se aproxima da linha
tanto quando
vai para
quanto para
, respeitando a direcionamento indicado pelas assíntotas.