Recordando a teoria de erro em séries alternadas, determine o valor das expressões abaixo com erro inferior a 0.01 :
a)
a)
Passo 1
Então, a gente tem aqui um exercício sobre a teoria de erro em séries alternadas. A pergunta é pra gente calcular o valor da integral de
de 0 até 1/2, garantindo que o erro seja menor que 0,01. Vamos precisar usar uma série alternada para aproximar essa integral e verificar quantos termos são necessários pra manter o erro dentro do limite estabelecido.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como expandir
em uma série de potências. A série de Taylor para
é:
Substituindo
por
, temos:
Passo 3
Agora, vamos integrar essa série termo a termo de 0 a 1/2:
A integral de
é:
Então, substituindo os limites:
Portanto, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular os primeiros termos dessa série até que o próximo termo seja menor que 0,01 em valor absoluto, garantindo assim que o erro seja menor que 0,01.
Vamos calcular os termos para
até que o termo seguinte seja menor que 0,01.
Para
:
Para
:
Para
:
Observamos que o termo para
é aproximadamente 0,000558, que é menor que 0,01. Então, podemos parar aqui.
Resposta
Aproximando a integral usando os dois primeiros termos da série, temos:
Com um erro inferior a 0,01.
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Expresse as séries abaixo através de um somatório. Então, inspirados nas séries de Mclaurin conhecidas das quatro funções elementares MAIS DISCUTIDAS em sala de aula, verifique para quais valores
as séries dadas convergem. JUSTIFIQUE. OBS. Cada uma das séries abaixo é o valor de uma série conhecida avaliada num ponto específico.
c) .
c)
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.
a)
a)
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a)
a)