Recordando a teoria de erro em séries alternadas, determine o valor das expressões abaixo com erro inferior a 0.01 :
a)
a)
Passo 1
Então, a gente tem aqui um exercício sobre a teoria de erro em séries alternadas. A pergunta é pra gente calcular o valor da integral de
de 0 até 1/2, garantindo que o erro seja menor que 0,01. Vamos precisar usar uma série alternada para aproximar essa integral e verificar quantos termos são necessários pra manter o erro dentro do limite estabelecido.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como expandir
em uma série de potências. A série de Taylor para
é:
Substituindo
por
, temos:
Passo 3
Agora, vamos integrar essa série termo a termo de 0 a 1/2:
A integral de
é:
Então, substituindo os limites:
Portanto, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular os primeiros termos dessa série até que o próximo termo seja menor que 0,01 em valor absoluto, garantindo assim que o erro seja menor que 0,01.
Vamos calcular os termos para
até que o termo seguinte seja menor que 0,01.
Para
:
Para
:
Para
:
Observamos que o termo para
é aproximadamente 0,000558, que é menor que 0,01. Então, podemos parar aqui.
Resposta
Aproximando a integral usando os dois primeiros termos da série, temos:
Com um erro inferior a 0,01.