Recordando a teoria de erro em séries alternadas, determine o valor das expressões abaixo com erro inferior a 0.01 :
a) integral0^1 / 2 e^-t^3 d t

Passo 1

Então, a gente tem aqui um exercício sobre a teoria de erro em séries alternadas. A pergunta é pra gente calcular o valor da integral de de 0 até 1/2, garantindo que o erro seja menor que 0,01. Vamos precisar usar uma série alternada para aproximar essa integral e verificar quantos termos são necessários pra manter o erro dentro do limite estabelecido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expandir e^x = sumn=0^infty x^nn! em uma série de potências. A série de Taylor para e^-t^3 = sumn=0^infty (-t^3)^nn! = sumn=0^infty (-1)^n t^3nn! é:
Substituindo por , temos:

Passo 3

Agora, vamos integrar essa série termo a termo de 0 a 1/2:
integral0^1/2 e^-t^3 dt = integral0^1/2 sumn=0^infty (-1)^n t^3nn! dt = sumn=0^infty (-1)^nn! integral0^1/2 t^3n dt
A integral de integral t^3n dt = t^3n+13n+1 é:
integral0^1/2 t^3n dt = (1/2)^3n+13n+1
Então, substituindo os limites:
integral0^1/2 e^-t^3 dt = sumn=0^infty (-1)^nn! cdot (1/2)^3n+13n+1
Portanto, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular os primeiros termos dessa série até que o próximo termo seja menor que 0,01 em valor absoluto, garantindo assim que o erro seja menor que 0,01.
Vamos calcular os termos para (-1)^00! cdot (1/2)^11 = 1 cdot 1/21 = 0,5 até que o termo seguinte seja menor que 0,01.
Para (-1)^11! cdot (1/2)^44 = -1 cdot 1/164 = -164 approx -0,015625 :
(-1)^22! cdot (1/2)^77 = 1 cdot 1/1287 cdot 2 = 11792 approx 0,000558
Para :
Para :
Observamos que o termo para é aproximadamente 0,000558, que é menor que 0,01. Então, podemos parar aqui.

Resposta

Aproximando a integral usando os dois primeiros termos da série, temos:
integral0^1/2 e^-t^3 dt approx 0,5 - 0,015625 = 0,484375
Com um erro inferior a 0,01.

Exercícios relacionados