Mostre que cosh(x) ≥ 1 + 1/2 * x^2, para todo x real.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que para todo número real x. Aqui, estamos trabalhando com funções hiperbólicas, especificamente a função cosseno hiperbólico, que é semelhante ao cosseno comum, mas para hiperbolas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição da e entender um pouco sobre séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como se define a função cosseno hiperbólico:
Essa função é sempre positiva e simétrica em relação ao eixo y, ou seja, .

Passo 3

Agora, para facilitar a comparação, vamos expandir a expressão de usando a série de Taylor:
A série mostra que é igual a 1 mais a soma de termos que são potências pares de x divididas por fatoriais pares.

Passo 4

Observando a série, vemos que:
Todos os termos após são positivos para qualquer x real, já que potências pares e fatoriais são sempre positivos.

Passo 5

Portanto, temos que:
Porque estamos somando apenas coisas positivas à expressão , a sempre será maior ou igual a essa soma.

Resposta

Assim, mostramos que para todo número real x, .

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