Mostre que
, para todo x real.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que
para todo número real
. Aqui, estamos trabalhando com funções hiperbólicas, especificamente a função cosseno hiperbólico, que é semelhante ao cosseno comum, mas para hiperbolas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição da
e entender um pouco sobre séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como se define a função cosseno hiperbólico:
Essa função é sempre positiva e simétrica em relação ao eixo
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, para facilitar a comparação, vamos expandir a expressão de
usando a série de Taylor:
A série mostra que
é igual a 1 mais a soma de termos que são potências pares de
divididas por fatoriais pares.
Passo 4
Observando a série, vemos que:
Todos os termos após
são positivos para qualquer
real, já que potências pares e fatoriais são sempre positivos.
Passo 5
Portanto, temos que:
Porque estamos somando apenas coisas positivas à expressão
, a
sempre será maior ou igual a essa soma.
Resposta
Assim, mostramos que para todo número real
,
.