(d) O que é uma região sólida do tipo 1 ? Como calcular integral duplaE f(x, y, z) d V se E for uma região deste tipo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está perguntando sobre o que é uma região sólida do tipo 1 e como calcular a integral tripla quando é esse tipo de região. Basicamente, estamos falando de integrais múltiplas em cálculo multivariável, focando em como definir os limites de integração para regiões tridimensionais específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma região sólida do tipo 1. Em cálculo tridimensional, as regiões de integração podem ser classificadas em tipos diferentes dependendo de como seus limites podem ser descritos.
Uma região tipo 1 é aquela que pode ser descrita de forma que, para cada ponto dentro dela, a coordenada E = (x, y, z) mid a <= y <= b, c <= z <= d, g1(y, z) <= x <= g2(y, z) varia entre duas funções que dependem de e , enquanto e variam dentro de intervalos fixos ou dependentes de uma variável.
Matematicamente, isso significa que podemos expressar a região como:
Onde são constantes que definem os intervalos de e , e e são funções que definem os limites inferiores e superiores de para cada e .

Passo 3

Agora, para calcular a integral tripla sobre uma região sólida do tipo 1, seguimos os seguintes passos:
  1. Identificar os limites de integração: Determinamos os intervalos de e e, para cada par , encontramos os limites de .
  2. Configurar a integral tripla: Organizamos a integral na ordem , integrando primeiro em , depois em , e por fim em .
  3. Integrar passo a passo: Realizamos a integração em cada variável seguindo a ordem estabelecida.

Passo 4

Vamos detalhar cada uma dessas etapas:
  1. Identificar os limites de integração:
    • Determinamos o intervalo de integral triplaE f(x, y, z) , dV = integralc^d integrala^b integralg1(y, z)^g2(y, z) f(x, y, z) , dx , dy , dz como .
    • Para cada , determinamos o intervalo de como .
    • Para cada par , determinamos variando entre e .
  2. Configurar a integral tripla:
    Aqui, começamos integrando em , depois em , e finalmente em .
  3. Integrar passo a passo:
    • Primeiro, integramos em relação a , mantendo e constantes.
    • Em seguida, integramos o resultado em relação a , mantendo constante.
    • Por fim, integramos em relação a .

Resposta

Então, resumindo, uma região sólida do tipo 1 é aquela onde varia entre duas funções que dependem de e , enquanto e variam dentro de intervalos específicos. Para calcular a integral tripla nessa região, configuramos a integral na ordem com os limites apropriados e integramos passo a passo conforme descrito.

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