(d) O que é uma região sólida do tipo 1 ? Como calcular
se
for uma região deste tipo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está perguntando sobre o que é uma região sólida do tipo 1 e como calcular a integral tripla
quando
é esse tipo de região. Basicamente, estamos falando de integrais múltiplas em cálculo multivariável, focando em como definir os limites de integração para regiões tridimensionais específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma região sólida do tipo 1. Em cálculo tridimensional, as regiões de integração podem ser classificadas em tipos diferentes dependendo de como seus limites podem ser descritos.
Uma região tipo 1 é aquela que pode ser descrita de forma que, para cada ponto dentro dela, a coordenada
varia entre duas funções que dependem de
e
, enquanto
e
variam dentro de intervalos fixos ou dependentes de uma variável.
Matematicamente, isso significa que podemos expressar a região
como:
Onde
são constantes que definem os intervalos de
e
, e
e
são funções que definem os limites inferiores e superiores de
para cada
e
.
Passo 3
Agora, para calcular a integral tripla
sobre uma região sólida do tipo 1, seguimos os seguintes passos:
- Identificar os limites de integração: Determinamos os intervalos de
e e, para cada par , encontramos os limites de . - Configurar a integral tripla: Organizamos a integral na ordem
, integrando primeiro em , depois em , e por fim em . - Integrar passo a passo: Realizamos a integração em cada variável seguindo a ordem estabelecida.
Passo 4
Vamos detalhar cada uma dessas etapas:
-
Identificar os limites de integração:
- Determinamos o intervalo de
como . - Para cada
, determinamos o intervalo de como . - Para cada par
, determinamos variando entre e .
- Determinamos o intervalo de
-
Configurar a integral tripla:Aqui, começamos integrando em
, depois em , e finalmente em . -
Integrar passo a passo:
- Primeiro, integramos
em relação a , mantendo e constantes. - Em seguida, integramos o resultado em relação a
, mantendo constante. - Por fim, integramos em relação a
.
- Primeiro, integramos
Resposta
Então, resumindo, uma região sólida do tipo 1 é aquela onde
varia entre duas funções que dependem de
e
, enquanto
e
variam dentro de intervalos específicos. Para calcular a integral tripla
nessa região, configuramos a integral na ordem
com os limites apropriados e integramos passo a passo conforme descrito.