Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para expandir a função
usando a série binomial. O conteúdo envolvido aqui é a Série Binomial, que nos permite expandir expressões da forma
em uma série de potências. Para isso, vamos precisar conhecer o termo geral da série binomial e entender como aplicá-lo para encontrar a expansão desejada. Além disso, vamos determinar o raio de convergência dessa série, ou seja, para quais valores de
a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma que se assemelhe à fórmula da série binomial. Sabemos que
.
Passo 3
A fórmula geral da série binomial para
é dada por:
onde
é o coeficiente binomial, que pode ser calculado como:
Passo 4
No nosso caso,
e temos
. Para adaptar à fórmula, vamos considerar
como
:
Passo 5
Vamos calcular os primeiros termos da expansão para visualizar o padrão. Calculando os coeficientes binomiais:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Substituindo os coeficientes na série, temos:
Simplificando os sinais:
Passo 7
Agora, para determinar o raio de convergência, usamos a fórmula para a série binomial, que converge quando
. Portanto, o raio de convergência
é 1.
Resposta
A expansão em série binomial de
é dada por:
E o raio de convergência da série é
.