Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.
raiz(1 - x) ^ (1/4)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para expandir a função usando a série binomial. O conteúdo envolvido aqui é a Série Binomial, que nos permite expandir expressões da forma em uma série de potências. Para isso, vamos precisar conhecer o termo geral da série binomial e entender como aplicá-lo para encontrar a expansão desejada. Além disso, vamos determinar o raio de convergência dessa série, ou seja, para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que se assemelhe à fórmula da série binomial. Sabemos que .

Passo 3

A fórmula geral da série binomial para é dada por:
onde é o coeficiente binomial, que pode ser calculado como:

Passo 4

No nosso caso, e temos . Para adaptar à fórmula, vamos considerar como :

Passo 5

Vamos calcular os primeiros termos da expansão para visualizar o padrão. Calculando os coeficientes binomiais:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Substituindo os coeficientes na série, temos:
Simplificando os sinais:

Passo 7

Agora, para determinar o raio de convergência, usamos a fórmula para a série binomial, que converge quando . Portanto, o raio de convergência é 1.

Resposta

A expansão em série binomial de é dada por:
E o raio de convergência da série é .

Exercícios relacionados