Use séries de potências para resolver a equação diferencial.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
. O objetivo é resolver essa equação usando séries de potências. Séries de potências são somas infinitas de termos que envolvem potências de
e são muito úteis para resolver equações diferenciais quando não encontramos soluções simples.
Passo 2
Vamos começar assumindo que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
necessárias para substituir na equação diferencial. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 4
Substituímos
e
na equação diferencial:
Vamos reorganizar os termos para alinharmos os índices das somas:
Passo 5
Para combinar as séries, ajustamos o índice da segunda soma substituindo
por
:
Agora, podemos escrever a equação como:
Passo 6
Para que essa igualdade seja válida para todos os valores de
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Ou seja:
Isso nos dá uma relação de recorrência para os coeficientes
.
Passo 7
Vamos resolver a relação de recorrência para encontrar os coeficientes
. Isolando
:
Essa relação nos permite expressar cada coeficiente em termos de coeficientes anteriores.
Passo 8
Agora, aplicamos as condições iniciais
e
para determinar os primeiros coeficientes.
Para
:
Para
:
Passo 9
Usando a relação de recorrência e os coeficientes iniciais, encontramos os próximos coeficientes:
-
Para
: Comonão existe (séries começam em ), consideramos . -
Para
: Novamente,não existe, então . -
Para
: -
Para
:
E assim por diante.
Passo 10
Continuando esse processo, podemos calcular mais termos:
Podemos notar que apenas os coeficientes com índices múltiplos de 4 não são nulos.
Passo 11
Assim, a solução da equação diferencial pode ser expressa pela série:
Substituindo os coeficientes encontrados:
Resposta
A solução da equação diferencial é dada pela série de potências: