Use séries de potências para resolver a equação diferencial. y'' + x^2 y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais e . O objetivo é resolver essa equação usando séries de potências. Séries de potências são somas infinitas de termos que envolvem potências de e são muito úteis para resolver equações diferenciais quando não encontramos soluções simples.

Passo 2

Vamos começar assumindo que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de necessárias para substituir na equação diferencial. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:

Passo 4

Substituímos e na equação diferencial:
Vamos reorganizar os termos para alinharmos os índices das somas:

Passo 5

Para combinar as séries, ajustamos o índice da segunda soma substituindo por :
Agora, podemos escrever a equação como:

Passo 6

Para que essa igualdade seja válida para todos os valores de , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Ou seja:
Isso nos dá uma relação de recorrência para os coeficientes .

Passo 7

Vamos resolver a relação de recorrência para encontrar os coeficientes . Isolando :
Essa relação nos permite expressar cada coeficiente em termos de coeficientes anteriores.

Passo 8

Agora, aplicamos as condições iniciais e para determinar os primeiros coeficientes.
Para :
Para :

Passo 9

Usando a relação de recorrência e os coeficientes iniciais, encontramos os próximos coeficientes:
  • Para :
    Como não existe (séries começam em ), consideramos .
  • Para :
    Novamente, não existe, então .
  • Para :
  • Para :
E assim por diante.

Passo 10

Continuando esse processo, podemos calcular mais termos:
Podemos notar que apenas os coeficientes com índices múltiplos de 4 não são nulos.

Passo 11

Assim, a solução da equação diferencial pode ser expressa pela série:
Substituindo os coeficientes encontrados:

Resposta

A solução da equação diferencial é dada pela série de potências:

Exercícios relacionados