Sejam
e
funções definidas em
por
Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos duas funções definidas para todo número real
:
Aqui,
representa a parte inteira de
(ou seja, o maior número inteiro menor ou igual a
), e
é a parte fracionária de
. O exercício quer que a gente mostre que
é a função inversa de
, ou seja, que
. Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar a função inversa e verificar as propriedades das funções dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função inversa. Se
é a inversa de
, então para todo
no domínio de
, temos que:
Então, para mostrar que
, precisamos verificar essas duas igualdades.
Passo 3
Vamos começar calculando
. Substituindo
na função
, temos:
Vamos chamar
. Então, precisamos encontrar
.
Passo 4
Calculando
onde
, temos:
Sabemos que
, porque
está entre 0 e 1, então a parte inteira de
é
. A parte fracionária é então:
Portanto,
Ou seja,
.
Passo 5
Agora, vamos verificar a outra igualdade:
. Substituindo
na função
, temos:
Vamos chamar
. Precisamos encontrar
.
Passo 6
Calculando
onde
, temos:
Como
, e
está entre 0 e 1 (já que
), a parte inteira de
é
. A parte fracionária é então:
Portanto,
Então,
.
Resposta
Como mostramos que
e
para todo
, concluímos que
.