Sejam f e g funções definidas em R por
f(x) = [x] + (x - [x])^2, g(x) = [x] + raiz(x - [x])
Mostre que g = f^(-1).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos duas funções definidas para todo número real x:
Aqui, [x] representa a parte inteira de x (ou seja, o maior número inteiro menor ou igual a x), e é a parte fracionária de x. O exercício quer que a gente mostre que g é a função inversa de f, ou seja, que . Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar a função inversa e verificar as propriedades das funções dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função inversa. Se g é a inversa de f, então para todo x no domínio de f, temos que:
Então, para mostrar que , precisamos verificar essas duas igualdades.

Passo 3

Vamos começar calculando f(g(x)). Substituindo g(x) na função f, temos:
Vamos chamar . Então, precisamos encontrar f(y).

Passo 4

Calculando f(y) onde , temos:
Sabemos que , porque está entre 0 e 1, então a parte inteira de y é [x]. A parte fracionária é então:
Portanto,
Ou seja, .

Passo 5

Agora, vamos verificar a outra igualdade: . Substituindo f(x) na função g, temos:
Vamos chamar . Precisamos encontrar .

Passo 6

Calculando onde , temos:
Como , e está entre 0 e 1 (já que ), a parte inteira de z é [x]. A parte fracionária é então:
Portanto,
Então, .

Resposta

Como mostramos que e para todo x em R, concluímos que .

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