Assumindo que a função
f(x) = { L + x, se -L <= x < 0; L - x, se 0 <= x < L }
seja estendida periodicamente fora do intervalo original, encontre a série de Fourier para a função estendida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre séries de Fourier! A questão nos dá uma função definida por partes dentro do intervalo e pede para estendê-la periodicamente e encontrar a série de Fourier correspondente. Para fazer isso, vamos precisar entender como as séries de Fourier funcionam e como calcular os coeficientes que representam a função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier permite representar uma função periódica como uma soma de senos e cossenos. A forma geral da série de Fourier para uma função com período é:
Aqui, é o termo constante, e e são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos calcular . Esse coeficiente representa a média da função no intervalo e é dado por:
Aqui, vamos integrar a função dada de a .

Passo 4

Agora, calculamos os coeficientes , que são os coeficientes dos cossenos:
E os coeficientes , que são os coeficientes dos senos:

Passo 5

Vamos agora calcular . A função é dada por:
Então, a integral para fica:
Calculando cada integral:
Para a :
Para a :
Então,

Passo 6

Agora, vamos calcular os coeficientes . Observando a função , percebemos que ela é ímpar em relação a (isto é, ), o que implica que os coeficientes serão zero devido à simetria.

Passo 7

Vamos então calcular os coeficientes :
Por simetria, esses coeficientes não serão zero e precisamos calcular cada integral separadamente.

Passo 8

Após realizar as integrações (que envolvem integração por partes), encontramos que:
Isso significa que os coeficientes são nulos para par e iguais a para ímpar.

Resposta

A série de Fourier da função estendida periodicamente é:

Exercícios relacionados