seja estendida periodicamente fora do intervalo original, encontre a série de Fourier para a função estendida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre séries de Fourier! A questão nos dá uma função definida por partes dentro do intervalo e pede para estendê-la periodicamente e encontrar a série de Fourier correspondente. Para fazer isso, vamos precisar entender como as séries de Fourier funcionam e como calcular os coeficientes que representam a função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier permite representar uma função periódica como uma soma de senos e cossenos. A forma geral da série de Fourier para uma função com período é:
Aqui, é o termo constante, e e são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos calcular . Esse coeficiente representa a média da função no intervalo e é dado por:
Aqui, vamos integrar a função dada de a .
Passo 4
Agora, calculamos os coeficientes , que são os coeficientes dos cossenos:
E os coeficientes , que são os coeficientes dos senos:
Passo 5
Vamos agora calcular . A função é dada por:
Então, a integral para fica:
Calculando cada integral:
Para a :
Para a :
Então,
Passo 6
Agora, vamos calcular os coeficientes . Observando a função , percebemos que ela é ímpar em relação a (isto é, ), o que implica que os coeficientes serão zero devido à simetria.
Passo 7
Vamos então calcular os coeficientes :
Por simetria, esses coeficientes não serão zero e precisamos calcular cada integral separadamente.
Passo 8
Após realizar as integrações (que envolvem integração por partes), encontramos que:
Isso significa que os coeficientes são nulos para par e iguais a para ímpar.
Resposta
A série de Fourier da função estendida periodicamente é: