Use séries de potências para resolver as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando séries de potências! O enunciado pede para resolver
usando séries de potências. Então, vamos precisar saber como representar uma função como uma série de potências, diferenciar essa série termo a termo e igualar os coeficientes para encontrar os termos da série que solucionam a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
como uma série de potências. Isso significa que vamos escrever
como uma soma infinita de termos com potências de
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
. Diferenciar termo a termo uma série de potências é permitido dentro do raio de convergência da série. Então, a derivada de
fica:
Passo 4
A equação diferencial que temos é
. Vamos substituir as expressões que encontramos para
e
nessa equação:
Passo 5
Vamos simplificar o lado direito da equação multiplicando
pela série:
Para facilitar a comparação dos coeficientes, vamos ajustar os índices das somas. No lado esquerdo, fazemos
, então
. Assim:
Observamos que para
, o termo fica
, então podemos começar a soma de
:
Agora, no lado direito, fazemos
, então
:
Agora, para igualar os índices, renomeamos
para
:
Passo 6
Agora, vamos igualar os coeficientes de
em ambos os lados da equação para todos os valores de
.
Para
e
no lado esquerdo, não há correspondência no lado direito, então:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Vamos resolver a relação de recorrência encontrada:
Isso significa que cada coeficiente
depende do coeficiente
.
Passo 8
Vamos determinar os primeiros coeficientes. Sabemos que
e
. Suponha que
seja uma constante arbitrária, digamos
.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
E assim por diante. Podemos notar que apenas os coeficientes com índices múltiplos de 3 são diferentes de zero.
Passo 9
Vamos generalizar os coeficientes não nulos. Observamos que
para
.
Então, a série fica:
Passo 10
Reconhecemos que essa série é a expansão de
. Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
usando séries de potências é:
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(h) ,
(h)
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:
.
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