Use séries de potências para resolver as equações diferenciais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando séries de potências! O enunciado pede para resolver usando séries de potências. Então, vamos precisar saber como representar uma função como uma série de potências, diferenciar essa série termo a termo e igualar os coeficientes para encontrar os termos da série que solucionam a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar como uma série de potências. Isso significa que vamos escrever como uma soma infinita de termos com potências de :
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a . Diferenciar termo a termo uma série de potências é permitido dentro do raio de convergência da série. Então, a derivada de fica:

Passo 4

A equação diferencial que temos é . Vamos substituir as expressões que encontramos para e nessa equação:

Passo 5

Vamos simplificar o lado direito da equação multiplicando pela série:
Para facilitar a comparação dos coeficientes, vamos ajustar os índices das somas. No lado esquerdo, fazemos , então . Assim:
Observamos que para , o termo fica , então podemos começar a soma de :
Agora, no lado direito, fazemos , então :
Agora, para igualar os índices, renomeamos para :

Passo 6

Agora, vamos igualar os coeficientes de em ambos os lados da equação para todos os valores de .
Para e no lado esquerdo, não há correspondência no lado direito, então:
Para :
Para :
Para :

Passo 7

Vamos resolver a relação de recorrência encontrada:
Isso significa que cada coeficiente depende do coeficiente .

Passo 8

Vamos determinar os primeiros coeficientes. Sabemos que e . Suponha que seja uma constante arbitrária, digamos .
Para :
Para :
Para :
Para :
E assim por diante. Podemos notar que apenas os coeficientes com índices múltiplos de 3 são diferentes de zero.

Passo 9

Vamos generalizar os coeficientes não nulos. Observamos que para .
Então, a série fica:

Passo 10

Reconhecemos que essa série é a expansão de . Portanto, a solução geral da equação diferencial é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial usando séries de potências é:

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(h) ,
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.
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,