Use a derivação logarítmica para determinar :
.

Passo 1

Vamos entender o enunciado. Temos a função . O que precisamos fazer aqui é encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . O conteúdo que vamos usar aqui é a derivação logarítmica, uma técnica muito útil quando lidamos com funções que têm variáveis tanto na base quanto no expoente.

Passo 2

Começamos aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equação, para simplificar a derivação. Então, aplicamos o logaritmo na função:
Usando a propriedade dos logaritmos que nos permite trazer o expoente para frente, ficamos assim:

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a . Aqui, precisamos usar a regra da cadeia para a derivada do lado esquerdo e a regra do produto para o lado direito.
A derivada do lado esquerdo, usando a regra da cadeia, é:
E para o lado direito, vamos usar a regra do produto. A derivada de é:
A derivada de é , então a primeira parte se torna .
Agora, precisamos derivar $ \ln(\operatorname{sen} x) $, que é:
Juntando tudo, a derivada do lado direito fica:

Passo 4

Agora, juntando ambas as derivadas, temos:
Para isolar , multiplicamos ambos os lados por :

Passo 5

Agora, lembrando que , podemos substituir na derivada:

Resposta

Assim, a derivada é:

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Calcular a inclinação da tangente à curva segundo a qual o plano corta o parabolóide de revolução , no ponto .
Determine a derivada:
.
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(h) ,
Use séries de potências para resolver as equações diferenciais abaixo: