Use a derivação logarítmica para determinar
:
.
Passo 1
Vamos entender o enunciado. Temos a função
. O que precisamos fazer aqui é encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. O conteúdo que vamos usar aqui é a derivação logarítmica, uma técnica muito útil quando lidamos com funções que têm variáveis tanto na base quanto no expoente.
Passo 2
Começamos aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equação, para simplificar a derivação. Então, aplicamos o logaritmo na função:
Usando a propriedade dos logaritmos que nos permite trazer o expoente para frente, ficamos assim:
Passo 3
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
. Aqui, precisamos usar a regra da cadeia para a derivada do lado esquerdo e a regra do produto para o lado direito.
A derivada do lado esquerdo, usando a regra da cadeia, é:
E para o lado direito, vamos usar a regra do produto. A derivada de
é:
A derivada de
é
, então a primeira parte se torna
.
Agora, precisamos derivar $ \ln(\operatorname{sen} x) $, que é:
Juntando tudo, a derivada do lado direito fica:
Passo 4
Agora, juntando ambas as derivadas, temos:
Para isolar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, lembrando que
, podemos substituir
na derivada:
Resposta
Assim, a derivada
é:
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corta o parabolóide de revolução
, no ponto
.
Determine a derivada:
.
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(h) ,
(h)
Use séries de potências para resolver as equações diferenciais abaixo: