Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(h) ,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Especificamente, a equação é:
E as condições iniciais são:
Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver isso. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa que transforma equações diferenciais em equações algébricas, facilitando a solução.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
E sabemos que:

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial:
Substituindo pelas fórmulas:
Simplificando:

Passo 4

Vamos reunir os termos com :
Isolando :

Passo 5

Simplificando o denominador:
Então:

Passo 6

Agora, decompomos em frações parciais para facilitar a inversão da Transformada de Laplace:
Podemos reescrever isso como:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Para encontrar os coeficientes , escolhemos valores estratégicos de :
  • Para :
  • Para :
Agora, expandimos e igualamos os coeficientes dos termos restantes para encontrar e . Após resolver, encontramos:

Passo 8

Agora, substituímos os valores encontrados de :

Passo 9

Aplicamos a Transformada de Laplace inversa em cada termo:
Simplificando:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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.
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