Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(h)
,
(h)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Especificamente, a equação é:
E as condições iniciais são:
Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver isso. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa que transforma equações diferenciais em equações algébricas, facilitando a solução.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
E sabemos que:
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial:
Substituindo pelas fórmulas:
Simplificando:
Passo 4
Vamos reunir os termos com
:
Isolando
:
Passo 5
Simplificando o denominador:
Então:
Passo 6
Agora, decompomos em frações parciais para facilitar a inversão da Transformada de Laplace:
Podemos reescrever isso como:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Para encontrar os coeficientes
, escolhemos valores estratégicos de
:
- Para
:
- Para
:
Agora, expandimos e igualamos os coeficientes dos termos restantes para encontrar
e
. Após resolver, encontramos:
Passo 8
Agora, substituímos os valores encontrados de
:
Passo 9
Aplicamos a Transformada de Laplace inversa em cada termo:
Simplificando:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Use a derivação logarítmica para determinar
:
.
Calcular a inclinação da tangente à curva segundo a qual o plano
corta o parabolóide de revolução
, no ponto
.
Use séries de potências para resolver as equações diferenciais abaixo:
Calcule as seguintes integrais indefinidas: