Resolva os sistemas abaixo pelo método de Gauss-Jordan.
lx+2 y-z=2 2 x-y+3 z=9 3 x+3 y-2 z=3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de três equações com três incógnitas: , e . O conteúdo que vamos usar para resolver isso é chamado de Eliminação de Gauss-Jordan, que é um método para resolver sistemas lineares transformando a equação em uma matriz e manipulando-a para achar os valores das incógnitas. Vamos precisar organizar as equações em uma matriz aumentada e, passo a passo, simplificar até encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar o sistema de equações em uma matriz aumentada. Isso nos ajuda a visualizar melhor as operações que vamos realizar. A matriz fica assim:
1 & 2 & -1 & | & 2 2 & -1 & 3 & | & 9 3 & 3 & -2 & | & 3
Aqui, cada linha representa uma equação, e as colunas representam os coeficientes de , , e o termo constante.

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz até que do lado da esquerda tenhamos a matriz identidade (1s na diagonal principal e 0s em outros lugares). Para começar, vamos usar a primeira linha para zerar os coeficientes abaixo do primeiro 1.
Primeiro, vamos deixar o primeiro elemento da segunda linha (que é 2) igual a 0. Fazemos isso multiplicando a primeira linha por 2 e subtraindo da segunda linha:
Linha2 = Linha2 - 2 times Linha1
1 & 2 & -1 & | & 2 0 & -5 & 5 & | & 5 3 & 3 & -2 & | & 3

Passo 4

Agora, vamos zerar o primeiro elemento da terceira linha (que é 3). Multiplicamos a primeira linha por 3 e subtraímos da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - 3 times Linha1
1 & 2 & -1 & | & 2 0 & -5 & 5 & | & 5 0 & -3 & 1 & | & -3

Passo 5

Vamos agora focar na segunda coluna. Queremos que o segundo elemento da segunda linha seja 1. Para isso, dividimos a segunda linha por -5:
Linha2 = Linha2-5
1 & 2 & -1 & | & 2 0 & 1 & -1 & | & -1 0 & -3 & 1 & | & -3

Passo 6

Com o segundo elemento da segunda linha sendo 1, vamos zerar os demais elementos da segunda coluna. Primeiro, na primeira linha. Multiplicamos a segunda linha por 2 e subtraímos da primeira linha:
Linha1 = Linha1 - 2 times Linha2
1 & 0 & 1 & | & 4 0 & 1 & -1 & | & -1 0 & -3 & 1 & | & -3

Passo 7

Agora, vamos zerar o elemento abaixo do 1 na segunda coluna (terceira linha). Multiplicamos a segunda linha por 3 e adicionamos à terceira linha:
Linha3 = Linha3 + 3 times Linha2
1 & 0 & 1 & | & 4 0 & 1 & -1 & | & -1 0 & 0 & -2 & | & -6

Passo 8

Finalmente, vamos deixar o terceiro elemento da terceira linha igual a 1. Para isso, dividimos a terceira linha por -2:
Linha3 = Linha3-2
1 & 0 & 1 & | & 4 0 & 1 & -1 & | & -1 0 & 0 & 1 & | & 3

Passo 9

Agora que temos a matriz na forma reduzida, podemos ler as soluções diretamente:
x + z = 4 y - z = -1 z = 3
Substituindo y - 3 = -1 Rightarrow y = 2 nas outras equações:
x + 3 = 4 Rightarrow x = 1

Resposta

A solução do sistema é , e .

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