Use a substituição indicada para calcular as integrais abaixo.
(b) integral 1e^x+1 d x, x=-ln u

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a substituição indicada . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com técnicas de substituição para facilitar a resolução. Vamos precisar entender como mudar as variáveis e calcular o diferencial adequado para integrar corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida: . Isso significa que estamos expressando em termos de , o que nos ajudará a simplificar a integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial dx = -1u , du em termos de . Derivando ambos os lados da equação em relação a :

Passo 4

Substituímos integral 1e^x + 1 , dx = integral 1e^- ln u + 1 (-1u , du) e na integral original:

Passo 5

Simplificamos e^- ln u = 1e^ln u = 1u . Sabemos que integral 11u + 1 (-1u , du) = -integral 11 + uu cdot 1u , du , então:
Substituindo isso na integral:

Passo 6

Simplificamos a fração dentro da integral:
11 + uu = u1 + u
Então, a integral fica:
-integral u1 + u cdot 1u , du = -integral 11 + u , du

Passo 7

Agora, integramos -integral 11 + u , du = -ln|1 + u| + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Finalmente, voltamos à variável original -ln(1 + u) + C = -ln(1 + e^-x) + C usando (já que ):

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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