Use a substituição indicada para calcular as integrais abaixo.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando a substituição indicada
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com técnicas de substituição para facilitar a resolução. Vamos precisar entender como mudar as variáveis e calcular o diferencial adequado para integrar corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida:
. Isso significa que estamos expressando
em termos de
, o que nos ajudará a simplificar a integral.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o diferencial
em termos de
. Derivando ambos os lados da equação
em relação a
:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Passo 5
Simplificamos
. Sabemos que
, então:
Substituindo isso na integral:
Passo 6
Simplificamos a fração dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, integramos
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Finalmente, voltamos à variável original
usando
(já que
):
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Fazer o passo a passo para construção de gráfico da seguinte função:
Sejam
, e
a superfície fronteira do paralelepípedo
, com normal apontando para fora do paralelepípedo. Calcule a integral de superfície
.
Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:
(e) ;
(e)
Use a substituição dada para transformar as integrais abaixo: