Use a substituição indicada para calcular as integrais abaixo.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a substituição indicada . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com técnicas de substituição para facilitar a resolução. Vamos precisar entender como mudar as variáveis e calcular o diferencial adequado para integrar corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida: . Isso significa que estamos expressando em termos de , o que nos ajudará a simplificar a integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial em termos de . Derivando ambos os lados da equação em relação a :

Passo 4

Substituímos e na integral original:

Passo 5

Simplificamos . Sabemos que , então:
Substituindo isso na integral:

Passo 6

Simplificamos a fração dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, integramos em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Finalmente, voltamos à variável original usando (já que ):

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Fazer o passo a passo para construção de gráfico da seguinte função:
Sejam , e a superfície fronteira do paralelepípedo , com normal apontando para fora do paralelepípedo. Calcule a integral de superfície .
Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:
(e) ;
Use a substituição dada para transformar as integrais abaixo: