Fazer o passo a passo para construção de gráfico da seguinte função:
Passo 1
Beleza, vamos construir o gráfico da função
. Aqui, vamos trabalhar com conceitos de funções exponenciais e quadráticas. Para isso, vamos precisar entender como cada termo da função se comporta e como eles interagem para formar o gráfico final.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Tanto a função exponencial
quanto
estão definidas para todos os números reais. Portanto, o domínio de
é
, ou seja, todos os números reais.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a interseção com o eixo
. Para isso, avaliamos a função em
:
Então, o ponto de interseção com o eixo
é
.
Passo 4
Em seguida, vamos analisar o comportamento da função quando
tende ao infinito e ao menos infinito:
-
Quando
: Então,. -
Quando
: Novamente,.
Isso indica que os ramos da função crescem indefinidamente para ambos os lados.
Passo 5
Vamos agora calcular a derivada para entender onde a função está crescendo ou decrescendo e identificar possíveis máximos ou mínimos:
Fatorando
:
Para encontrar pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Isso nos dá
ou
. Resolvendo a segunda equação:
Então,
.
Passo 6
Vamos analisar a concavidade calculando a segunda derivada:
Isso nos ajuda a identificar pontos de inflexão, mas para simplificar, vamos focar nos pontos críticos já encontrados.
Passo 7
Vamos calcular alguns valores da função em pontos-chave para plotar:
-
: -
: -
: -
: -
:
Resposta
Com todas essas informações, podemos desenhar o gráfico de
plotando os pontos calculados, observando que a função tem um mínimo em
e cresce para
nos extremos. O ponto de interseção com o eixo
é
e a função é simétrica em relação ao eixo
.
Exercícios relacionados
Sejam
, e
a superfície fronteira do paralelepípedo
, com normal apontando para fora do paralelepípedo. Calcule a integral de superfície
.
Calcule a integral de superfície
, em que
, e
é a superfície fronteira do cilindro
, com normal apontando para fora do cilindro.
Use a substituição indicada para calcular as integrais abaixo.
(b)
(b)
Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:
(e) ;
(e)