Fazer o passo a passo para construção de gráfico da seguinte função:

Passo 1

Beleza, vamos construir o gráfico da função . Aqui, vamos trabalhar com conceitos de funções exponenciais e quadráticas. Para isso, vamos precisar entender como cada termo da função se comporta e como eles interagem para formar o gráfico final.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Tanto a função exponencial quanto estão definidas para todos os números reais. Portanto, o domínio de é , ou seja, todos os números reais.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a interseção com o eixo . Para isso, avaliamos a função em :
Então, o ponto de interseção com o eixo é .

Passo 4

Em seguida, vamos analisar o comportamento da função quando tende ao infinito e ao menos infinito:
  • Quando :
    Então, .
  • Quando :
    Novamente, .
Isso indica que os ramos da função crescem indefinidamente para ambos os lados.

Passo 5

Vamos agora calcular a derivada para entender onde a função está crescendo ou decrescendo e identificar possíveis máximos ou mínimos:
Fatorando :
Para encontrar pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Isso nos dá ou . Resolvendo a segunda equação:
Então, .

Passo 6

Vamos analisar a concavidade calculando a segunda derivada:
Isso nos ajuda a identificar pontos de inflexão, mas para simplificar, vamos focar nos pontos críticos já encontrados.

Passo 7

Vamos calcular alguns valores da função em pontos-chave para plotar:
  • :
  • :
  • :
  • :
  • :

Resposta

Com todas essas informações, podemos desenhar o gráfico de plotando os pontos calculados, observando que a função tem um mínimo em e cresce para nos extremos. O ponto de interseção com o eixo é e a função é simétrica em relação ao eixo .

Exercícios relacionados

Sejam , e a superfície fronteira do paralelepípedo , com normal apontando para fora do paralelepípedo. Calcule a integral de superfície .
Calcule a integral de superfície , em que , e é a superfície fronteira do cilindro , com normal apontando para fora do cilindro.
Use a substituição indicada para calcular as integrais abaixo.
(b)
Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:
(e) ;