Sejam F(x, y, z)=(e^x+z^2-y, x^2+(y^2+1) cos y, 4-z e^x), e S a superfície fronteira do paralelepípedo E=(x, y, z) in R^3 ; 2 <= x <= 4,0 <= y <= pi2,-3 <= z <=-1, com normal apontando para fora do paralelepípedo. Calcule a integral de superfície integral duplaS F d S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície de um campo vetorial F sobre a superfície S, que é a fronteira de um paralelepípedo E. Aqui, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona uma integral de superfície com uma integral de volume. Basicamente, isso nos ajuda a simplificar cálculos envolvendo integrais em superfícies fechadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a divergência do campo vetorial F(x, y, z) = (e^x+z^2-y,, x^2+(y^2+1) cos y,, 4-z e^x). A divergência de um vetor F = (F1, F2, F3) é dada por:
div F = partial F1partial x + partial F2partial y + partial F3partial z
Vamos calcular cada derivada:
  1. Para F1 = e^x + z^2 - y:
    partial F1partial x = e^x
  2. Para F2 = x^2 + (y^2+1) cos y:
    partial F2partial y = 2y cos y + (y^2+1)(- sin y)
  3. Para F3 = 4 - z e^x:
    partial F3partial z = - e^x
Agora, somando todas as derivadas:
div F = e^x + (2y cos y - (y^2+1) sin y) - e^x = 2y cos y - (y^2+1) sin y

Passo 3

Com a divergência calculada, aplicamos o Teorema da Divergência:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaE div F , dV
Agora, vamos configurar a integral de volume sobre o paralelepípedo E = (x, y, z) in R^3 ;, 2 <= x <= 4,, 0 <= y <= pi2,, -3 <= z <= -1.

Passo 4

Vamos integrar a divergência 2y cos y - (y^2+1) sin y sobre os limites de E:
integral triplaE (2y cos y - (y^2+1) sin y) , dV = integralx=2^4 integraly=0^pi2 integralz=-3^-1 (2y cos y - (y^2+1) sin y) dz, dy, dx
Observando que a expressão dentro da integral não depende de x nem de z, podemos simplificar:
integralx=2^4 dx times integraly=0^pi2 (2y cos y - (y^2+1) sin y) dy times integralz=-3^-1 dz
Calculando cada parte:
  1. Integral em x:
    integral2^4 dx = 4 - 2 = 2
  2. Integral em z:
    integral-3^-1 dz = (-1) - (-3) = 2
  3. Integral em y:
    integral0^pi2 (2y cos y - (y^2+1) sin y) dy
Vamos resolver essa integral por partes:
Primeiro, integramos 2y cos y:
integral 2y cos y , dy = 2y sin y + 2 cos y
Depois, integramos -(y^2+1) sin y:
integral -(y^2+1) sin y , dy = (y^2+1) cos y - 2y sin y
Somando tudo:
2y sin y + 2 cos y + (y^2+1) cos y - 2y sin y = (y^2+3) cos y
Agora, avaliamos de 0 a pi2:
[(y^2+3) cos y]0^pi2 = (((pi2)^2+3) cos pi2) - ((0)^2 + 3) cos 0
Sabendo que cos pi2 = 0 e cos 0 = 1, temos:
0 - 3 = -3

Resposta

Multiplicando todas as partes:
2 times (-3) times 2 = -12
Portanto, a integral de superfície integral duplaS F cdot dS é igual a -12.

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