Sejam
, e
a superfície fronteira do paralelepípedo
, com normal apontando para fora do paralelepípedo. Calcule a integral de superfície
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície de um campo vetorial
sobre a superfície
, que é a fronteira de um paralelepípedo
. Aqui, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona uma integral de superfície com uma integral de volume. Basicamente, isso nos ajuda a simplificar cálculos envolvendo integrais em superfícies fechadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a divergência do campo vetorial
. A divergência de um vetor
é dada por:
Vamos calcular cada derivada:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Agora, somando todas as derivadas:
Passo 3
Com a divergência calculada, aplicamos o Teorema da Divergência:
Agora, vamos configurar a integral de volume sobre o paralelepípedo
.
Passo 4
Vamos integrar a divergência
sobre os limites de
:
Observando que a expressão dentro da integral não depende de
nem de
, podemos simplificar:
Calculando cada parte:
-
Integral em
: -
Integral em
: -
Integral em
:
Vamos resolver essa integral por partes:
Primeiro, integramos
:
Depois, integramos
:
Somando tudo:
Agora, avaliamos de
a
:
Sabendo que
e
, temos:
Resposta
Multiplicando todas as partes:
Portanto, a integral de superfície
é igual a -12.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de superfície
, em que
, e
é a superfície fronteira do cilindro
, com normal apontando para fora do cilindro.
Seja
um sólido simples do
. Utilize o Teorema do Divergente para determinar uma fórmula que nos permita calcular o volume de
através de uma integral de superfície.
Fazer o passo a passo para construção de gráfico da seguinte função:
Use a substituição indicada para calcular as integrais abaixo.
(b)
(b)