Sejam , e a superfície fronteira do paralelepípedo , com normal apontando para fora do paralelepípedo. Calcule a integral de superfície .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície de um campo vetorial sobre a superfície , que é a fronteira de um paralelepípedo . Aqui, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona uma integral de superfície com uma integral de volume. Basicamente, isso nos ajuda a simplificar cálculos envolvendo integrais em superfícies fechadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a divergência do campo vetorial . A divergência de um vetor é dada por:
Vamos calcular cada derivada:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
Agora, somando todas as derivadas:

Passo 3

Com a divergência calculada, aplicamos o Teorema da Divergência:
Agora, vamos configurar a integral de volume sobre o paralelepípedo .

Passo 4

Vamos integrar a divergência sobre os limites de :
Observando que a expressão dentro da integral não depende de nem de , podemos simplificar:
Calculando cada parte:
  1. Integral em :
  2. Integral em :
  3. Integral em :
Vamos resolver essa integral por partes:
Primeiro, integramos :
Depois, integramos :
Somando tudo:
Agora, avaliamos de a :
Sabendo que e , temos:

Resposta

Multiplicando todas as partes:
Portanto, a integral de superfície é igual a -12.

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Calcule a integral de superfície , em que , e é a superfície fronteira do cilindro , com normal apontando para fora do cilindro.
Seja um sólido simples do . Utilize o Teorema do Divergente para determinar uma fórmula que nos permita calcular o volume de através de uma integral de superfície.
Fazer o passo a passo para construção de gráfico da seguinte função:
Use a substituição indicada para calcular as integrais abaixo.
(b)