Use uma tabela para calcular Lf(t) :
ll a) f(t)=(t+1)^3 & b) f(t)=(1+e^t)^2 c) f(t)=t^2-e^-9 t+5 & d) f(t)=4 t^2-5 sen 3 t e) f(t)=sen 2 t cos 2 t & f) f(t)=cos ^2 t g) f(t)=cos t cos 2 t & h) f(t)=sen t cos 2 t i) f(t)=sen^3 t & j) f(t)=sen t sen 2 t

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular a transformada de Laplace da função . Para isso, vamos usar a tabela de transformadas de Laplace e aplicar algumas propriedades básicas da transformada, como a linearidade.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a expressão (t+1)^3 = t^3 + 3t^2 + 3t + 1 usando a fórmula do binômio de Newton:

Passo 3

Agora, aplicamos a propriedade da linearidade da transformada de Laplace, que nos permite transformar cada termo separadamente:
Lt^3 + 3t^2 + 3t + 1 = Lt^3 + 3Lt^2 + 3Lt + L1

Passo 4

Consultando a tabela de transformadas de Laplace, encontramos:
Lt^n = n!s^n+1 e L1 = 1s
Aplicando para cada termo:
Lt^3 = 6s^4
Lt^2 = 2s^3
Lt = 1s^2
L1 = 1s

Passo 5

Substituindo os valores encontrados na expressão anterior:
L(t+1)^3 = 6s^4 + 3 cdot 2s^3 + 3 cdot 1s^2 + 1s
Simplificando:
L(t+1)^3 = 6s^4 + 6s^3 + 3s^2 + 1s

Resposta

A transformada de Laplace de L(t+1)^3 = 6s^4 + 6s^3 + 3s^2 + 1s é:

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a) f(t) = { 0, 0 <= t < 1; t^2, t >= 1 }
b) f(t) = { sent, 0 <= t < 2 pi; 0, t >= 2 pi }
c) f(t) = { 0, 0 <= t < 3 pi / 2; sent, t >= 3 pi / 2 }
d) f(t) = { 1, 0 <= t < 4; 0, 4 <= t < 5; 1, t >= 5 }
Resolva as equações: y'' + 4y = x sen(2x)