Escreva cada função em termos de funções degrau unitário. Encontre a transformada de Laplace da função dada.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função definida por partes e precisamos expressá-la usando a função degrau unitário, também conhecida como função de Heaviside. Depois, vamos encontrar a transformada de Laplace dessa função. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades da função degrau unitário e a definição da transformada de Laplace.
Passo 2
Vamos reescrever a função usando a função degrau unitário . A função degrau unitário “liga” a função a partir do tempo . No nosso caso, a função muda de 0 para em . Assim, podemos expressar da seguinte maneira:
Simplificando, já que :
Passo 3
Agora, vamos encontrar a transformada de Laplace de . Sabemos que a transformada de Laplace de é dada por:
No nosso caso, . Primeiro, encontramos a transformada de Laplace de :
Passo 4
Aplicando a propriedade mencionada no Passo 3, multiplicamos pela exponencial :