Escreva cada função em termos de funções degrau unitário. Encontre a transformada de Laplace da função dada.
a) f(t) = { 0, 0 <= t < 1; t^2, t >= 1 }
b) f(t) = { sent, 0 <= t < 2 pi; 0, t >= 2 pi }
c) f(t) = { 0, 0 <= t < 3 pi / 2; sent, t >= 3 pi / 2 }
d) f(t) = { 1, 0 <= t < 4; 0, 4 <= t < 5; 1, t >= 5 }

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função definida por partes e precisamos expressá-la usando a função degrau unitário, também conhecida como função de Heaviside. Depois, vamos encontrar a transformada de Laplace dessa função. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades da função degrau unitário e a definição da transformada de Laplace.

Passo 2

Vamos reescrever a função usando a função degrau unitário . A função degrau unitário “liga” a função a partir do tempo . No nosso caso, a função muda de 0 para em . Assim, podemos expressar da seguinte maneira:
Simplificando, já que :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a transformada de Laplace de . Sabemos que a transformada de Laplace de é dada por:
No nosso caso, . Primeiro, encontramos a transformada de Laplace de :

Passo 4

Aplicando a propriedade mencionada no Passo 3, multiplicamos pela exponencial :

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

Exercícios relacionados

Use uma tabela para calcular Lf(t) :
ll a) f(t)=(t+1)^3 & b) f(t)=(1+e^t)^2 c) f(t)=t^2-e^-9 t+5 & d) f(t)=4 t^2-5 sen 3 t e) f(t)=sen 2 t cos 2 t & f) f(t)=cos ^2 t g) f(t)=cos t cos 2 t & h) f(t)=sen t cos 2 t i) f(t)=sen^3 t & j) f(t)=sen t sen 2 t
Use o teorema da convolução para encontrar f(t).
L^{-1}(1/(s+1)^{2}).
Resolva as equações: y'' + 4y = x sen(2x)
Dado o campo vetorial F = (y, z, y*z) . F é conservativo? Calcule o trabalho de F ao mover uma partícula ao longo da curva descrita por r(t) = (cos(t), sen(t), e^(t)), 0 <= t <= pi.