Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
{(1^2/n) + (2^2/n) + ... + (n^2/n)}_{n ≥ 1}

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma sequência definida por:
Então, o objetivo aqui é descobrir se essa sequência vai para um número finito (converge) ou se ela cresce sem limite (diverge). Para isso, vamos precisar saber sobre somas de quadrados e limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência. A soma dos quadrados de 1 até n é conhecida e tem uma fórmula específica. A soma dos quadrados é:
Então, nossa sequência fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão conforme n cresce. Vamos expandir o numerador:
Então, a expressão fica:

Passo 4

Para entender o limite dessa expressão quando n tende ao infinito, a gente observa os termos de maior grau no numerador e no denominador. Aqui, o termo de maior grau no numerador é e no denominador é 6 (que é constante).
Então, conforme n cresce, os termos menores se tornam negligenciáveis, e a expressão se comporta aproximadamente como:

Passo 5

Agora, vemos que cresce sem limite à medida que n aumenta. Isso significa que a sequência não está se aproximando de nenhum número finito, mas sim aumentando indefinidamente.

Resposta

A sequência diverge, pois ela cresce sem limite conforme tende ao infinito.

Exercícios relacionados