Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma sequência definida por:
Então, o objetivo aqui é descobrir se essa sequência vai para um número finito (converge) ou se ela cresce sem limite (diverge). Para isso, vamos precisar saber sobre somas de quadrados e limites de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência. A soma dos quadrados de 1 até n é conhecida e tem uma fórmula específica. A soma dos quadrados é:
Então, nossa sequência fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão conforme n cresce. Vamos expandir o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Para entender o limite dessa expressão quando n tende ao infinito, a gente observa os termos de maior grau no numerador e no denominador. Aqui, o termo de maior grau no numerador é
e no denominador é 6 (que é constante).
Então, conforme n cresce, os termos menores se tornam negligenciáveis, e a expressão se comporta aproximadamente como:
Passo 5
Agora, vemos que
cresce sem limite à medida que n aumenta. Isso significa que a sequência não está se aproximando de nenhum número finito, mas sim aumentando indefinidamente.
Resposta
A sequência diverge, pois ela cresce sem limite conforme
tende ao infinito.