Demonstre que para todo inteiro positivo
vale:
a)
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que a soma dos cubos dos números de 1 até
é igual a
. Isso está relacionado a progressões e somas de termos na matemática. Para resolver isso, vamos usar indução matemática, que é uma técnica super útil para provar fórmulas que valem para todos os números naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para
. Isso é o chamado caso base.
Quando
:
E a fórmula dá:
Então, para
, a igualdade é verdadeira.
Passo 3
Agora, vamos supor que a fórmula vale para um certo número
. Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Ou seja, assumimos que:
Passo 4
Precisamos mostrar que, se a hipótese de indução é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para
.
Vamos calcular a soma até
:
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Então, substituindo na soma:
Vamos fatorar
da expressão:
Simplificando dentro dos parênteses:
Isso resulta em:
Que é exatamente a fórmula para
.
Passo 5
Como verificamos que a fórmula é verdadeira para
e que, se ela é verdadeira para
, também é para
, pela indução matemática, a fórmula vale para todo inteiro positivo
.
Resposta
Assim, mostramos que:
Vale para todo inteiro positivo
.
Exercícios relacionados
A seguinte equação diferencial aparece em trabalhos que estudam a acumulação de nebulosa no sistema solar:
(a) Determine a região do plano
onde é possível garantir que esta equação possui soluçōes únicas.
Encontre o limite se existir:
Use o Teorema do Confronto para mostrar que: