Demonstre que para todo inteiro positivo vale:
a) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que a soma dos cubos dos números de 1 até é igual a . Isso está relacionado a progressões e somas de termos na matemática. Para resolver isso, vamos usar indução matemática, que é uma técnica super útil para provar fórmulas que valem para todos os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para . Isso é o chamado caso base.
Quando :
E a fórmula dá:
Então, para , a igualdade é verdadeira.

Passo 3

Agora, vamos supor que a fórmula vale para um certo número . Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Ou seja, assumimos que:

Passo 4

Precisamos mostrar que, se a hipótese de indução é verdadeira para , então ela também é verdadeira para .
Vamos calcular a soma até :
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Então, substituindo na soma:
Vamos fatorar da expressão:
Simplificando dentro dos parênteses:
Isso resulta em:
Que é exatamente a fórmula para .

Passo 5

Como verificamos que a fórmula é verdadeira para e que, se ela é verdadeira para , também é para , pela indução matemática, a fórmula vale para todo inteiro positivo .

Resposta

Assim, mostramos que:
Vale para todo inteiro positivo .

Exercícios relacionados

A seguinte equação diferencial aparece em trabalhos que estudam a acumulação de nebulosa no sistema solar:
(a) Determine a região do plano onde é possível garantir que esta equação possui soluçōes únicas.
Encontre o limite se existir:
Use o Teorema do Confronto para mostrar que: