Use o teorema da convolução para encontrar
.
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para encontrar a transformada inversa de Laplace da função
usando o teorema da convolução. Basicamente, vamos precisar usar o teorema da convolução e algumas propriedades das transformadas de Laplace para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração para facilitar o trabalho. Observa que:
Isso é útil porque agora a expressão fica mais parecida com uma forma padrão que conhecemos da transformada de Laplace.
Passo 3
Reescrevendo a função original com essa simplificação, temos:
Passo 4
Agora, vamos lembrar que a transformada inversa de Laplace de
é conhecida e pode ser dada por:
No nosso caso,
e
. Então,
Vamos chamar essa função de
:
Passo 5
A função que queremos encontrar é
. Pela propriedade da transformada de Laplace, o inverso da potência de uma função no domínio de
corresponde à convolução da função inversa com ela mesma no domínio do tempo. Ou seja:
Onde “*” representa a operação de convolução.
Passo 6
Vamos calcular a convolução
. Por definição, a convolução de duas funções
e
é dada por:
No nosso caso,
, então:
Passo 7
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a convolução fica:
Passo 8
Vamos usar a identidade trigonométrica para o produto de senos:
Aplicando isso na integral:
Passo 9
Substituindo na integral:
Podemos separar a integral em duas partes:
Passo 10
Calculando cada integral separadamente:
-
Para
, fazemos uma substituição simples e integramos: Avaliando de 0 a: -
Para
, como é constante em relação a :
Passo 11
Agora, substituindo de volta na expressão da convolução:
Simplificando:
Resposta
A transformada inversa de Laplace ��: