Use o teorema da convolução para encontrar f(t).
L^{-1}(1/((s^{2}+4 s+5)^{2})).

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para encontrar a transformada inversa de Laplace da função usando o teorema da convolução. Basicamente, vamos precisar usar o teorema da convolução e algumas propriedades das transformadas de Laplace para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração para facilitar o trabalho. Observa que:
Isso é útil porque agora a expressão fica mais parecida com uma forma padrão que conhecemos da transformada de Laplace.

Passo 3

Reescrevendo a função original com essa simplificação, temos:

Passo 4

Agora, vamos lembrar que a transformada inversa de Laplace de é conhecida e pode ser dada por:
No nosso caso, e . Então,
Vamos chamar essa função de :

Passo 5

A função que queremos encontrar é . Pela propriedade da transformada de Laplace, o inverso da potência de uma função no domínio de corresponde à convolução da função inversa com ela mesma no domínio do tempo. Ou seja:
Onde “*” representa a operação de convolução.

Passo 6

Vamos calcular a convolução . Por definição, a convolução de duas funções e é dada por:
No nosso caso, , então:

Passo 7

Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a convolução fica:

Passo 8

Vamos usar a identidade trigonométrica para o produto de senos:
Aplicando isso na integral:

Passo 9

Substituindo na integral:
Podemos separar a integral em duas partes:

Passo 10

Calculando cada integral separadamente:
  1. Para , fazemos uma substituição simples e integramos:
    Avaliando de 0 a :
  2. Para , como é constante em relação a :

Passo 11

Agora, substituindo de volta na expressão da convolução:
Simplificando:

Resposta

A transformada inversa de Laplace ��:

Exercícios relacionados