Encontre F(s) ou f(t).
L^-1{e^{-2 s}/(s^{2}(s-1))}.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de . Esse problema está dentro do conteúdo de Transformadas de Laplace, especificamente utilizando propriedades como o deslocamento no tempo. Para resolver, vamos precisar conhecer as transformadas básicas de Laplace, decomposição em frações parciais e a propriedade do teorema da transformação inversa com atraso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada inversa de Laplace L^{-1}{F(s)} nos dá a função f(t) no domínio do tempo. No nosso caso, temos um fator multiplicando a função . Esse fator indica que usaremos a propriedade de deslocamento no tempo na transformada inversa.

Passo 3

Antes de aplicar o deslocamento, vamos encontrar a transformada inversa de . Para isso, precisamos decompor essa fração em frações parciais. Ou seja, vamos expressar:

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:
Agora, expandimos e organizamos os termos:
Agrupando termos semelhantes:
Comparando os coeficientes dos termos correspondentes nos dois lados da igualdade, obtemos o seguinte sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
  • Da terceira equação:
  • Da segunda equação:
  • Da primeira equação:
Portanto, a decomposição em frações parciais é:

Passo 5

Agora, aplicamos a transformada inversa a cada termo separadamente:
Assim, a transformada inversa de é:

Passo 6

Agora, voltamos ao fator que estava multiplicando a função original. Sabemos que multiplicar por na transformada de Laplace corresponde a um deslocamento no tempo de a unidades, ou seja:
Onde é a função de Heaviside que é 0 para e 1 para . No nosso caso, e . Portanto, aplicando o deslocamento:
Simplificando:

Resposta

A transformada inversa é:

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