Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de . Esse problema está dentro do conteúdo de Transformadas de Laplace, especificamente utilizando propriedades como o deslocamento no tempo. Para resolver, vamos precisar conhecer as transformadas básicas de Laplace, decomposição em frações parciais e a propriedade do teorema da transformação inversa com atraso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada inversa de Laplace nos dá a função no domínio do tempo. No nosso caso, temos um fator multiplicando a função . Esse fator indica que usaremos a propriedade de deslocamento no tempo na transformada inversa.
Passo 3
Antes de aplicar o deslocamento, vamos encontrar a transformada inversa de . Para isso, precisamos decompor essa fração em frações parciais. Ou seja, vamos expressar:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:
Agora, expandimos e organizamos os termos:
Agrupando termos semelhantes:
Comparando os coeficientes dos termos correspondentes nos dois lados da igualdade, obtemos o seguinte sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação:
Da segunda equação:
Da primeira equação:
Portanto, a decomposição em frações parciais é:
Passo 5
Agora, aplicamos a transformada inversa a cada termo separadamente:
Assim, a transformada inversa de é:
Passo 6
Agora, voltamos ao fator que estava multiplicando a função original. Sabemos que multiplicar por na transformada de Laplace corresponde a um deslocamento no tempo de a unidades, ou seja:
Onde é a função de Heaviside que é 0 para e 1 para . No nosso caso, e . Portanto, aplicando o deslocamento: