Use uma tabela para encontrar a transformada inversa de Laplace.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de Laplace da função
. Isso significa que queremos descobrir qual função no domínio do tempo corresponde a essa expressão no domínio de Laplace. Para resolver isso, vamos usar métodos de frações parciais, que nos ajudam a decompor frações complexas em termos mais simples que são mais fáceis de transformar de volta.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever nossa função:
A ideia aqui é decompor essa fração em partes mais simples. Vamos supor que podemos escrever isso como:
Onde A, B e C são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar os valores de A, B e C, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelos denominadores comuns
:
Agora, para facilitar, podemos escolher valores de s que simplificam a equação. Vamos escolher s = 2, s = 3 e s = 6.
Passo 4
Primeiro, vamos escolher s = 2:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos escolher s = 3:
Simplifica para:
Passo 6
Por fim, vamos escolher s = 6:
Isso simplifica para:
Passo 7
Agora que temos os valores de A, B e C, podemos reescrever a fração original:
Ou seja:
Passo 8
Agora, para encontrar a transformada inversa de cada termo, lembramos que:
Aplicando isso a cada termo:
- Para
, temos - Para
, temos - Para
, temos
Resposta
Então, a transformada inversa de Laplace é: