Use uma tabela para encontrar a transformada inversa de Laplace.
L^{-1}{s/((s-2)(s-3)(s-6))}.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de Laplace da função . Isso significa que queremos descobrir qual função no domínio do tempo corresponde a essa expressão no domínio de Laplace. Para resolver isso, vamos usar métodos de frações parciais, que nos ajudam a decompor frações complexas em termos mais simples que são mais fáceis de transformar de volta.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever nossa função:
A ideia aqui é decompor essa fração em partes mais simples. Vamos supor que podemos escrever isso como:
Onde A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar os valores de A, B e C, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelos denominadores comuns :
Agora, para facilitar, podemos escolher valores de s que simplificam a equação. Vamos escolher s = 2, s = 3 e s = 6.

Passo 4

Primeiro, vamos escolher s = 2:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos escolher s = 3:
Simplifica para:

Passo 6

Por fim, vamos escolher s = 6:
Isso simplifica para:

Passo 7

Agora que temos os valores de A, B e C, podemos reescrever a fração original:
Ou seja:

Passo 8

Agora, para encontrar a transformada inversa de cada termo, lembramos que:
Aplicando isso a cada termo:
  • Para , temos
  • Para , temos
  • Para , temos

Resposta

Então, a transformada inversa de Laplace é:

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