Use o Teorema da Divergência para calcular , onde e é a metade de cima da esfera
não é fechada. Calcule integrais sobre e , onde é o disco , orientado para baixo, e .]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos usar o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície do campo vetorial sobre a metade superior da esfera . Para isso, também vamos considerar a superfície , que é o disco na base da esfera, e a superfície fechada , que é a união da metade da esfera com o disco. Vamos precisar calcular as integrais sobre essas superfícies usando o Teorema da Divergência.

Passo 2

O Teorema da Divergência relaciona a integral de superfície de um campo vetorial fechado com a integral de volume da divergência desse campo. A fórmula é:
Onde:
  • é a superfície fechada.
  • é o volume limitado por .
  • é a divergência do campo vetorial .

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo vetorial .
A divergência é dada por:
Calculando cada termo:
Portanto,

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema da Divergência na superfície fechada :
Como é o volume da esfera de raio 1, sabemos que .

Passo 5

A integral de sobre o volume da esfera pode ser calculada em coordenadas esféricas. Sabendo que:
E o volume em coordenadas esféricas é , onde , , e .
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Primeiro, integramos em relação a :
Depois, em relação a :
E finalmente, em relação a :
Multiplicando todos os resultados:

Resposta

A integral de superfície é igual a .

Exercícios relacionados

Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície , ou seja, calcule o fluxo de através de .
, é o elipsóide .
Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro (aplicável) para um campo vetorial dado e a superfícis dada.
é a parte do plano que está no primeiro octante, com orientação para cima.
Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície , ou seja, calcule o fluxo de através de .
é a superfície do cubo com vértices .
Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície , ou seja, calcule o fluxo de através de .
é a superfície do sólido limitado pelo cilindro pelos planos e .