Use o Teorema da Divergência para calcular integral duplaS F cdot d S, onde F(x, y, z)=z^2 x i+(13 y^3+tg(z)) k+(x^2 z+y^2) k e S é a metade de cima da esfera x^2+y^2+z^2=1
[S não é fechada. Calcule integrais sobre S1 e S2, onde S1 é o disco x^2+y^2 <= 1, orientado para baixo, e S2=S cup S1.]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos usar o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície do campo vetorial sobre a metade superior da esfera . Para isso, também vamos considerar a superfície , que é o disco na base da esfera, e a superfície fechada , que é a união da metade da esfera com o disco. Vamos precisar calcular as integrais sobre essas superfícies usando o Teorema da Divergência.

Passo 2

O Teorema da Divergência relaciona a integral de superfície de um campo vetorial fechado com a integral de volume da divergência desse campo. A fórmula é:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV (nabla cdot F) , dV
Onde:
  • é a superfície fechada.
  • é o volume limitado por .
  • é a divergência do campo vetorial .

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo vetorial nabla cdot F = partialpartial x(z^2x) + partialpartial y(13y^3 + tan(z)) + partialpartial z(x^2z + y^2) .
A divergência é dada por:
partialpartial x(z^2x) = z^2
Calculando cada termo:
partialpartial y(13y^3 + tan(z)) = y^2
partialpartial z(x^2z + y^2) = x^2
nabla cdot F = z^2 + y^2 + x^2
Portanto,

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema da Divergência na superfície fechada integral duplaS2 F cdot dS = integral triplaV (x^2 + y^2 + z^2) , dV :
Como é o volume da esfera de raio 1, sabemos que .

Passo 5

A integral de x^2 + y^2 + z^2 = r^2 sobre o volume da esfera pode ser calculada em coordenadas esféricas. Sabendo que:
integral triplaV r^2 cdot r^2 sin(phi) , dr , dphi , dtheta = integral triplaV r^4 sin(phi) , dr , dphi , dtheta
E o volume em coordenadas esféricas é , onde , , e .
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos calcular a integral:
integral0^2pi integral0^pi integral0^1 r^4 sin(phi) , dr , dphi , dtheta
Primeiro, integramos em relação a integral0^1 r^4 , dr = [ r^55 ]0^1 = 15 :
integral0^pi sin(phi) , dphi = [ -cos(phi) ]0^pi = 2
Depois, em relação a integral0^2pi dtheta = 2pi :
15 times 2 times 2pi = 4pi5
E finalmente, em relação a :
Multiplicando todos os resultados:

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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