Use o Teorema da Divergência para calcular
, onde
e
é a metade de cima da esfera
não é fechada. Calcule integrais sobre
e
, onde
é o disco
, orientado para baixo, e
.]
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos usar o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície do campo vetorial
sobre a metade superior da esfera
. Para isso, também vamos considerar a superfície
, que é o disco na base da esfera, e a superfície fechada
, que é a união da metade da esfera com o disco. Vamos precisar calcular as integrais sobre essas superfícies usando o Teorema da Divergência.
Passo 2
O Teorema da Divergência relaciona a integral de superfície de um campo vetorial fechado com a integral de volume da divergência desse campo. A fórmula é:
Onde:
-
é a superfície fechada. -
é o volume limitado por . -
é a divergência do campo vetorial .
Passo 3
Vamos calcular a divergência do campo vetorial
.
A divergência é dada por:
Calculando cada termo:
Portanto,
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema da Divergência na superfície fechada
:
Como
é o volume da esfera de raio 1, sabemos que
.
Passo 5
A integral de
sobre o volume da esfera pode ser calculada em coordenadas esféricas. Sabendo que:
E o volume em coordenadas esféricas é
, onde
,
, e
.
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Primeiro, integramos em relação a
:
Depois, em relação a
:
E finalmente, em relação a
:
Multiplicando todos os resultados:
Resposta
A integral de superfície
é igual a
.
Exercícios relacionados
Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície
, ou seja, calcule o fluxo de
através de
.
,
é o elipsóide
.
Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro (aplicável) para um campo vetorial
dado e a superfícis
dada.
é a parte do plano
que está no primeiro octante, com orientação para cima.
Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície
, ou seja, calcule o fluxo de
através de
.
é a superfície do cubo com vértices
.
Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície
, ou seja, calcule o fluxo de
através de
.
é a superfície do sólido limitado pelo cilindro
pelos planos
e
.