Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot d S, ou seja, calcule o fluxo de F através de S.
F(x, y, z)=3 y^2 z^3 i+9 x^2 y z^2 j-4 x y^2 k, S é a superfície do cubo com vértices ( pm 1, pm 1, pm 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema da Divergência. O que o enunciado pede é para calcular o fluxo do campo vetorial F através da superfície S, que é a superfície de um cubo com vértices em (pm1, pm1, pm1). Para isso, vamos precisar conhecer o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo vetorial no volume limitado por essa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial F. A divergência de um campo vetorial F = Pi + Qj + Rk é dada por:
nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
No nosso caso, temos:
P = 3y^2 z^3, Q = 9x^2 y z^2, R = -4xy^2
Então, vamos calcular cada derivada parcial:
partial Ppartial x = 0 (pois P não depende de x) ã
partial Qpartial y = 9x^2 z^2 (derivando Q em relação a y) çã
partial Rpartial z = 0 (pois R não depende de z) ã
Então, a divergência é:
nabla cdot F = 0 + 9x^2 z^2 + 0 = 9x^2 z^2

Passo 3

Agora que temos a divergência, vamos aplicar o Teorema da Divergência. Esse teorema nos diz que o fluxo de F através da superfície fechada S é igual à integral tripla da divergência de F sobre o volume V limitado por S:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Então, precisamos calcular a integral tripla de 9x^2 z^2 sobre o volume do cubo de x, y, z variando de -1 a 1.

Passo 4

Vamos configurar a integral tripla:
integral triplaV 9x^2 z^2 , dV = 9 integral-1^1 integral-1^1 integral-1^1 x^2 z^2 , dx , dy , dz
Notamos que a função a ser integrada, x^2 z^2, é simétrica em relação a y, então a integral em y será simplesmente uma multiplicação por 2, já que o intervalo de y é de -1 a 1.
Então:
9 integral-1^1 integral-1^1 integral-1^1 x^2 z^2 , dx , dy , dz = 9 integral-1^1 integral-1^1 x^2 z^2 ( integral-1^1 dy ) dx , dz = 9 cdot 2 integral-1^1 integral-1^1 x^2 z^2 , dx , dz

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral dupla:
18 integral-1^1 integral-1^1 x^2 z^2 , dx , dz
Como a função x^2 z^2 é par em ambas as variáveis, podemos simplificar integrando de 0 a 1 e multiplicando por 4:
18 cdot 4 integral0^1 integral0^1 x^2 z^2 , dx , dz = 72 integral0^1 ( integral0^1 x^2 z^2 , dx ) dz
Calculando a integral interna em x:
integral0^1 x^2 z^2 , dx = z^2 [ x^33 ]0^1 = z^2 cdot 13 = z^23
Então:
72 integral0^1 z^23 , dz = 24 integral0^1 z^2 , dz = 24 [ z^33 ]0^1 = 24 cdot 13 = 8

Resposta

O fluxo de F através de S é igual a 8.

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