Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície , ou seja, calcule o fluxo de através de .
é a superfície do cubo com vértices .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema da Divergência. O que o enunciado pede é para calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é a superfície de um cubo com vértices em . Para isso, vamos precisar conhecer o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo vetorial no volume limitado por essa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial . A divergência de um campo vetorial é dada por:
No nosso caso, temos:
Então, vamos calcular cada derivada parcial:
ã
çã
ã
Então, a divergência é:

Passo 3

Agora que temos a divergência, vamos aplicar o Teorema da Divergência. Esse teorema nos diz que o fluxo de através da superfície fechada é igual à integral tripla da divergência de sobre o volume limitado por :
Então, precisamos calcular a integral tripla de sobre o volume do cubo de variando de a .

Passo 4

Vamos configurar a integral tripla:
Notamos que a função a ser integrada, , é simétrica em relação a , então a integral em será simplesmente uma multiplicação por , já que o intervalo de é de a .
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral dupla:
Como a função é par em ambas as variáveis, podemos simplificar integrando de a e multiplicando por :
Calculando a integral interna em :
Então:

Resposta

O fluxo de através de é igual a .

Exercícios relacionados

Use o Teorema da Divergência para calcular , onde e é a metade de cima da esfera
não é fechada. Calcule integrais sobre e , onde é o disco , orientado para baixo, e .]
Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície , ou seja, calcule o fluxo de através de .
, é o elipsóide .
Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície , ou seja, calcule o fluxo de através de .
é a superfície do sólido limitado pelo cilindro pelos planos e .
Seja : Isso contraria o Teorema do Campo Conservativo?