Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície
, ou seja, calcule o fluxo de
através de
.
é a superfície do cubo com vértices
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema da Divergência. O que o enunciado pede é para calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
, que é a superfície de um cubo com vértices em
. Para isso, vamos precisar conhecer o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo vetorial no volume limitado por essa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso, temos:
Então, vamos calcular cada derivada parcial:
Então, a divergência é:
Passo 3
Agora que temos a divergência, vamos aplicar o Teorema da Divergência. Esse teorema nos diz que o fluxo de
através da superfície fechada
é igual à integral tripla da divergência de
sobre o volume
limitado por
:
Então, precisamos calcular a integral tripla de
sobre o volume do cubo de
variando de
a
.
Passo 4
Vamos configurar a integral tripla:
Notamos que a função a ser integrada,
, é simétrica em relação a
, então a integral em
será simplesmente uma multiplicação por
, já que o intervalo de
é de
a
.
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral dupla:
Como a função
é par em ambas as variáveis, podemos simplificar integrando de
a
e multiplicando por
:
Calculando a integral interna em
:
Então:
Resposta
O fluxo de
através de
é igual a
.
Exercícios relacionados
Use o Teorema da Divergência para calcular
, onde
e
é a metade de cima da esfera
não é fechada. Calcule integrais sobre
e
, onde
é o disco
, orientado para baixo, e
.]
Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície
, ou seja, calcule o fluxo de
através de
.
,
é o elipsóide
.
Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície
, ou seja, calcule o fluxo de
através de
.
é a superfície do sólido limitado pelo cilindro
pelos planos
e
.
Seja
: Isso contraria o Teorema do Campo Conservativo?