Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície
, ou seja, calcule o fluxo de
através de
.
é a superfície do sólido limitado pelo cilindro
pelos planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos o fluxo do campo vetorial
através da superfície
. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que nos ajuda a transformar uma integral de superfície em uma integral de volume, facilitando nossos cálculos. Vamos precisar calcular a divergência de
e depois integrar isso sobre o volume limitado pelo cilindro
e os planos
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que:
Ou seja, o fluxo do campo
através da superfície
é igual à integral da divergência de
sobre o volume
limitado por essa superfície.
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Para o nosso campo:
Vamos calcular cada derivada:
Então, a divergência é:
Passo 4
Agora que temos a divergência, precisamos integrar isso sobre o volume
limitado pelo cilindro
e os planos
e
.
Vamos entender melhor esse volume. O cilindro
tem raio 3 e se estende indefinidamente ao longo do eixo
. Os limites em
são de
até
. Isso significa que para cada ponto
no cilindro,
varia de 0 até
.
Passo 5
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
Nosso cilindro tem
indo de 0 a 3, e
indo de 0 a
. Agora, precisamos determinar os limites para
. Sabemos que
varia de 0 até
. Em coordenadas cilíndricas,
, então:
Passo 6
Agora, vamos expressar a divergência
em coordenadas cilíndricas:
Então, nossa integral de volume fica:
Simplificando:
Passo 7
Integrando em relação a
:
Então, a integral fica:
Vamos distribuir:
Passo 8
Agora, vamos integrar em relação a
:
Primeiro, integramos
:
Segundo, integramos
:
Então, a integral fica:
Passo 9
Agora, vamos separar as integrais:
Sabemos que:
Então:
Resposta
O fluxo de
através de
é
.
Exercícios relacionados
Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície
, ou seja, calcule o fluxo de
através de
.
é a superfície do cubo com vértices
.
Use o Teorema da Divergência para calcular
, onde
e
é a metade de cima da esfera
não é fechada. Calcule integrais sobre
e
, onde
é o disco
, orientado para baixo, e
.]
Seja
: Isso contraria o Teorema do Campo Conservativo?
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
é a circunferência
.