Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície , ou seja, calcule o fluxo de através de .
é a superfície do sólido limitado pelo cilindro pelos planos e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos o fluxo do campo vetorial através da superfície . Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que nos ajuda a transformar uma integral de superfície em uma integral de volume, facilitando nossos cálculos. Vamos precisar calcular a divergência de e depois integrar isso sobre o volume limitado pelo cilindro e os planos e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que:
Ou seja, o fluxo do campo através da superfície é igual à integral da divergência de sobre o volume limitado por essa superfície.

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
Para o nosso campo:
Vamos calcular cada derivada:
áã
áã
Então, a divergência é:

Passo 4

Agora que temos a divergência, precisamos integrar isso sobre o volume limitado pelo cilindro e os planos e .
Vamos entender melhor esse volume. O cilindro tem raio 3 e se estende indefinidamente ao longo do eixo . Os limites em são de até . Isso significa que para cada ponto no cilindro, varia de 0 até .

Passo 5

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
Nosso cilindro tem indo de 0 a 3, e indo de 0 a . Agora, precisamos determinar os limites para . Sabemos que varia de 0 até . Em coordenadas cilíndricas, , então:

Passo 6

Agora, vamos expressar a divergência em coordenadas cilíndricas:
Então, nossa integral de volume fica:
Simplificando:

Passo 7

Integrando em relação a :
Então, a integral fica:
Vamos distribuir:

Passo 8

Agora, vamos integrar em relação a :
Primeiro, integramos :
Segundo, integramos :
Então, a integral fica:

Passo 9

Agora, vamos separar as integrais:
Sabemos que:
Então:

Resposta

O fluxo de através de é .

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