Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot d S, ou seja, calcule o fluxo de F através de S.
F(x, y, z)=y e^z^2 i+y^2 j+e^x y k, S é a superfície do sólido limitado pelo cilindro x^2+y^2=9 e pelos planos z=0 e z=y-3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos o fluxo do campo vetorial F = y e^z^2 i + y^2 j + e^x y k através da superfície S. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que nos ajuda a transformar uma integral de superfície em uma integral de volume, facilitando nossos cálculos. Vamos precisar calcular a divergência de F e depois integrar isso sobre o volume limitado pelo cilindro x^2+y^2=9 e os planos z=0 e z=y-3.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV (nabla cdot F) , dV
Ou seja, o fluxo do campo F através da superfície S é igual à integral da divergência de F sobre o volume V limitado por essa superfície.

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência de F. A divergência de um campo vetorial F = Fx i + Fy j + Fz k é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Para o nosso campo:
Fx = y e^z^2, Fy = y^2, Fz = e^x y
Vamos calcular cada derivada:
partial Fxpartial x = partialpartial x ( y e^z^2 ) = 0 (já que não tem x) áã
partial Fypartial y = partialpartial y ( y^2 ) = 2y
partial Fzpartial z = partialpartial z ( e^x y ) = 0 (já que não tem z) áã
Então, a divergência é:
nabla cdot F = 0 + 2y + 0 = 2y

Passo 4

Agora que temos a divergência, precisamos integrar isso sobre o volume V limitado pelo cilindro x^2+y^2=9 e os planos z=0 e z=y-3.
Vamos entender melhor esse volume. O cilindro x^2+y^2=9 tem raio 3 e se estende indefinidamente ao longo do eixo z. Os limites em z são de z=0 até z=y-3. Isso significa que para cada ponto (x, y) no cilindro, z varia de 0 até y-3.

Passo 5

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = z
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
dV = r , dr , dtheta , dz
Nosso cilindro tem r indo de 0 a 3, e theta indo de 0 a 2pi. Agora, precisamos determinar os limites para z. Sabemos que z varia de 0 até y - 3. Em coordenadas cilíndricas, y = r sin theta, então:
z in [0, r sin theta - 3]

Passo 6

Agora, vamos expressar a divergência 2y em coordenadas cilíndricas:
2y = 2r sin theta
Então, nossa integral de volume fica:
integral triplaV 2y , dV = integral0^2pi integral0^3 integral0^r sin theta - 3 2r sin theta cdot r , dz , dr , dtheta
Simplificando:
= 2 integral0^2pi integral0^3 r^2 sin theta ( integral0^r sin theta - 3 dz ) dr , dtheta

Passo 7

Integrando em relação a z:
integral0^r sin theta - 3 dz = r sin theta - 3
Então, a integral fica:
2 integral0^2pi integral0^3 r^2 sin theta (r sin theta - 3) , dr , dtheta
Vamos distribuir:
= 2 integral0^2pi integral0^3 ( r^3 sin^2 theta - 3r^2 sin theta ) dr , dtheta

Passo 8

Agora, vamos integrar em relação a r:
Primeiro, integramos r^3 sin^2 theta:
integral0^3 r^3 sin^2 theta , dr = sin^2 theta integral0^3 r^3 , dr = sin^2 theta [ r^44 ]0^3 = sin^2 theta cdot 814
Segundo, integramos -3r^2 sin theta:
integral0^3 -3r^2 sin theta , dr = -3 sin theta integral0^3 r^2 , dr = -3 sin theta [ r^33 ]0^3 = -3 sin theta cdot 273 = -27 sin theta
Então, a integral fica:
2 integral0^2pi ( 814 sin^2 theta - 27 sin theta ) dtheta

Passo 9

Agora, vamos separar as integrais:
2 ( 814 integral0^2pi sin^2 theta , dtheta - 27 integral0^2pi sin theta , dtheta )
Sabemos que:
integral0^2pi sin^2 theta , dtheta = pi
integral0^2pi sin theta , dtheta = 0
Então:
2 ( 814 cdot pi - 27 cdot 0 ) = 2 cdot 814 pi = 1624 pi = 812 pi

Resposta

O fluxo de F através de S é dfrac812 pi.

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