Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície
, ou seja, calcule o fluxo de
através de
.
,
é o elipsóide
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície
, que representa o fluxo do campo vetorial
através da superfície
. Aqui,
e
é um elipsóide dado por
. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema da Divergência e calcular a divergência do campo
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Esse teorema relaciona a integral de superfície de um campo vetorial
através de uma superfície fechada
com a integral de volume da divergência de
dentro do volume
limitado por
. A fórmula é:
Então, para calcular o fluxo de
através de
, basta calcular a divergência de
e depois integrar isso sobre o volume do elipsóide.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
,
e
. Vamos derivar cada uma dessas componentes:
Agora somamos essas derivadas para encontrar a divergência:
Passo 4
Com a divergência
, a integral de volume fica:
Isso significa que o fluxo de
através da superfície fechada
é zero.
Resposta
O fluxo de
através de
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro (aplicável) para um campo vetorial
dado e a superfícis
dada.
é a parte do plano
que está no primeiro octante, com orientação para cima.
Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro (aplicável) para um campo vetorial
dado e a superfícis
dada.
,
é a parte do parabolóide
que está acima do plano
, com orientação para cima.
Use o Teorema da Divergência para calcular
, onde
e
é a metade de cima da esfera
não é fechada. Calcule integrais sobre
e
, onde
é o disco
, orientado para baixo, e
.]
Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície
, ou seja, calcule o fluxo de
através de
.
é a superfície do cubo com vértices
.