Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície , ou seja, calcule o fluxo de através de .
, é o elipsóide .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície , que representa o fluxo do campo vetorial através da superfície . Aqui, e é um elipsóide dado por . Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema da Divergência e calcular a divergência do campo .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Esse teorema relaciona a integral de superfície de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral de volume da divergência de dentro do volume limitado por . A fórmula é:
Então, para calcular o fluxo de através de , basta calcular a divergência de e depois integrar isso sobre o volume do elipsóide.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
No nosso caso, , e . Vamos derivar cada uma dessas componentes:
Agora somamos essas derivadas para encontrar a divergência:

Passo 4

Com a divergência , a integral de volume fica:
Isso significa que o fluxo de através da superfície fechada é zero.

Resposta

O fluxo de através de é igual a 0.

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, é a parte do parabolóide que está acima do plano , com orientação para cima.
Use o Teorema da Divergência para calcular , onde e é a metade de cima da esfera
não é fechada. Calcule integrais sobre e , onde é o disco , orientado para baixo, e .]
Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície , ou seja, calcule o fluxo de através de .
é a superfície do cubo com vértices .