Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot d S, ou seja, calcule o fluxo de F através de S.
F(x, y, z)=-x z i-y z j+z^2 k, S é o elipsóide x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície , que representa o fluxo do campo vetorial através da superfície . Aqui, e é um elipsóide dado por . Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema da Divergência e calcular a divergência do campo .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Esse teorema relaciona a integral de superfície de um campo vetorial integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV através de uma superfície fechada com a integral de volume da divergência de dentro do volume limitado por . A fórmula é:
Então, para calcular o fluxo de através de , basta calcular a divergência de e depois integrar isso sobre o volume do elipsóide.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z . A divergência de um campo vetorial partial Ppartial x = partial (-xz)partial x = -z é dada por:
partial Qpartial y = partial (-yz)partial y = -z
No nosso caso, partial Rpartial z = partial (z^2)partial z = 2z , nabla cdot F = -z - z + 2z = 0 e . Vamos derivar cada uma dessas componentes:
Agora somamos essas derivadas para encontrar a divergência:

Passo 4

Com a divergência integral triplaV 0 , dV = 0 , a integral de volume fica:
Isso significa que o fluxo de através da superfície fechada é zero.

Resposta

O fluxo de através de é igual a 0.

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