Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro (aplicável) para um campo vetorial
dado e a superfícis
dada.
,
é a parte do parabolóide
que está acima do plano
, com orientação para cima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é verificar se o Teorema de Stokes funciona para o campo vetorial dado, que é
, e para a superfície
, que é a parte do parabolóide
acima do plano
, orientada para cima.
O Teorema de Stokes conecta a integral de linha de um campo vetorial ao longo da borda de uma superfície com a integral do rotacional desse campo sobre a própria superfície. Para usar esse teorema, a gente precisa garantir que:
- A superfície
é suave e orientável. - O campo vetorial
é suave na região considerada. - A borda da superfície
é uma curva fechada simples.
Vamos verificar se essas condições são atendidas para prosseguir.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a superfície
: ela é parte do parabolóide
que está acima do plano
. Esse parabolóide é uma superfície suave porque sua equação é diferenciável em todo ponto. Além disso, como está orientada para cima, a orientação está bem definida.
A borda da superfície
ocorre onde o parabolóide encontra o plano
. Para encontrar essa borda, basta resolver
:
Isso descreve um círculo de raio 3 no plano
. Então, a borda de
é uma curva fechada simples, que é o círculo
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se o campo vetorial
é suave na região. Um campo vetorial é suave se todas as suas componentes são funções diferenciáveis. Olhando para
, vemos que todas as componentes são polinomiais e, portanto, diferenciáveis em todo
. Isso significa que
é suave na região considerada.
Passo 4
Como todas as condições estão satisfeitas:
- A superfície
é suave e orientável. - O campo vetorial
é suave. - A borda de
é uma curva fechada simples.
Podemos aplicar o Teorema de Stokes sem problemas.
Resposta
Sim, o Teorema de Stokes é aplicável para o campo vetorial
e a superfície
dada.
Exercícios relacionados
Use o Teorema de Stokes para calcular
. Onde
é orientada no sentido anti-horário quando visto de cima.
é a curva da interseç̧ão do plano
e do cilindro
.
Determine os valores máximos e mínimos da função:
Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro (aplicável) para um campo vetorial
dado e a superfícis
dada.
é a parte do plano
que está no primeiro octante, com orientação para cima.
Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície
, ou seja, calcule o fluxo de
através de
.
,
é o elipsóide
.