Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro (aplicável) para um campo vetorial dado e a superfícis dada.
, é a parte do parabolóide que está acima do plano , com orientação para cima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é verificar se o Teorema de Stokes funciona para o campo vetorial dado, que é , e para a superfície , que é a parte do parabolóide acima do plano , orientada para cima.
O Teorema de Stokes conecta a integral de linha de um campo vetorial ao longo da borda de uma superfície com a integral do rotacional desse campo sobre a própria superfície. Para usar esse teorema, a gente precisa garantir que:
  1. A superfície é suave e orientável.
  2. O campo vetorial é suave na região considerada.
  3. A borda da superfície é uma curva fechada simples.
Vamos verificar se essas condições são atendidas para prosseguir.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a superfície : ela é parte do parabolóide que está acima do plano . Esse parabolóide é uma superfície suave porque sua equação é diferenciável em todo ponto. Além disso, como está orientada para cima, a orientação está bem definida.
A borda da superfície ocorre onde o parabolóide encontra o plano . Para encontrar essa borda, basta resolver :
Isso descreve um círculo de raio 3 no plano . Então, a borda de é uma curva fechada simples, que é o círculo .

Passo 3

Agora, vamos verificar se o campo vetorial é suave na região. Um campo vetorial é suave se todas as suas componentes são funções diferenciáveis. Olhando para , vemos que todas as componentes são polinomiais e, portanto, diferenciáveis em todo . Isso significa que é suave na região considerada.

Passo 4

Como todas as condições estão satisfeitas:
  1. A superfície é suave e orientável.
  2. O campo vetorial é suave.
  3. A borda de é uma curva fechada simples.
Podemos aplicar o Teorema de Stokes sem problemas.

Resposta

Sim, o Teorema de Stokes é aplicável para o campo vetorial e a superfície dada.

Exercícios relacionados

Use o Teorema de Stokes para calcular . Onde é orientada no sentido anti-horário quando visto de cima.
é a curva da interseç̧ão do plano e do cilindro .
Determine os valores máximos e mínimos da função:
Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro (aplicável) para um campo vetorial dado e a superfícis dada.
é a parte do plano que está no primeiro octante, com orientação para cima.
Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície , ou seja, calcule o fluxo de através de .
, é o elipsóide .