Um pêndulo de 0.25 Kg está suspenso por uma corda de 0.60 m de comprimento. Quando o pêndulo é colocado em uma oscilação de pequenas amplitudes, a amplitude da oscilação decai para metade do seu valor inicial depois de 35 s.
(a) Em qual instante a sua energia é metade do valor inicial?
(a) Em qual instante a sua energia é metade do valor inicial?
Passo 1
Então, vamos lá! Temos um pêndulo com massa de 0,25 kg e comprimento de 0,60 m. Quando ele oscila com pequenas amplitudes, a amplitude diminui pela metade após 35 segundos. Nosso objetivo aqui é descobrir em quanto tempo a energia do pêndulo será metade do que era no início. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre pêndulos e como a energia se comporta quando há amortecimento nas oscilações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a amplitude das oscilações diminui ao longo do tempo. Quando há amortecimento (tipo uma resistência que reduz as oscilações), a amplitude $ A(t) $ do pêndulo pode ser descrita por uma função exponencial:
Aqui, $ A_0 $ é a amplitude inicial e $ b $ é a constante de amortecimento que precisamos encontrar.
Passo 3
Sabemos que após 35 segundos, a amplitude é metade da inicial, ou seja, $ A(35) = \frac{A_0}{2} $. Vamos substituir esses valores na equação para encontrar $ b $:
Dividindo ambos os lados por $ A_0 $:
Agora, aplicamos o logaritmo natural para resolver para $ b $:
Sabemos que $ \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln(2) $, então:
Passo 4
Queremos encontrar o tempo $ t $ em que a energia é metade da inicial. A energia de um pêndulo é proporcional ao quadrado da amplitude, então:
Queremos $ E(t) = \frac{E_0}{2} $, então:
Usando a equação da amplitude:
Aplicando o logaritmo natural:
Sabemos que $ \ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{\ln(2)}{2} $, então:
Substituindo o valor de $ b $ encontrado no Passo 3:
Resposta
A energia do pêndulo será metade do valor inicial após 17,5 segundos.