Use o Teorema 2 para encontrar os seguintes limites:
(b) lim n infty 2 nraiz4 n^2+3 n

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar o limite da expressão quando vai para o infinito. Vamos usar o Teorema 2, que ajuda a calcular limites de funções racionais onde o grau do numerador e do denominador influencia o resultado. Para resolver isso, vamos simplificar a expressão considerando os termos que mais crescem quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, observamos os termos que têm maior impacto quando tende ao infinito. No numerador, temos , e dentro da raiz no denominador, temos . Como está no infinito, os termos com maiores poderes de vão dominar. Então, a gente foca no dentro da raiz.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dividindo tanto o numerador quanto o denominador pelo maior poder de 2nraiz4n^2 + 3n = 2nraizn^2(4 + 3n) que aparece, que nesse caso é . Assim:

Passo 4

Dentro da raiz, podemos tirar o 2nraizn^2(4 + 3n) = 2nnraiz4 + 3n de fora como :

Passo 5

Agora, simplificamos o 2nnraiz4 + 3n = 2raiz4 + 3n no numerador e no denominador:

Passo 6

Quando raiz4 + 0 = raiz4 = 2 vai para o infinito, tende a zero. Então, a expressão dentro da raiz fica:

Resposta

Portanto,
limn infty 2nraiz4n^2 + 3n = 22 = 1

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