Encontre a soma
© sumn=1^infty 2(-3)^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a soma da série infinita . Isso envolve conceitos de séries geométricas, que são somas de termos que seguem uma razão constante entre eles. Para resolver, vamos precisar identificar o primeiro termo e a razão da série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o primeiro termo ( a1 = 2(-3)^1 = 2-3 = -23 ) da série. Olhando a expressão , quando :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a razão ( r = an+1an = 2(-3)^n+12(-3)^n = 2 cdot (-3)^n2 cdot (-3)^n+1 = 1-3 = -13 ) da série. A razão é o fator pelo qual cada termo é multiplicado para chegar ao próximo termo. Observando os denominadores:

Passo 4

Como estamos lidando com uma série geométrica infinita, podemos usar a fórmula da soma S = a11 - r de uma série geométrica infinita, que é válida se :
No nosso caso, , então podemos usar a fórmula.

Passo 5

Vamos substituir os valores que encontramos na fórmula:
S = -231 - (-13) = -231 + 13 = -2343 = -23 times 34 = -612 = -12

Resposta

A soma da série é .

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