Converta para coordenadas polares e calcule os limites.
a) lim (x, y) (0,0) raizx^2+y^2 ln (x^2+y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . A matéria que vamos usar aqui é de coordenadas polares e cálculo de limites para funções de duas variáveis. Precisamos entender como converter coordenadas cartesianas para polares e aplicar isso para facilitar o cálculo do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, em vez de usar x = r cos(theta) e y = r sin(theta) e raizx^2 + y^2 = r , usamos x^2 + y^2 = r^2 e , onde é a distância da origem e é o ângulo com o eixo positivo . As relações são:
E também,

Passo 3

Vamos substituir raizx^2 + y^2 ln(x^2 + y^2) = r ln(r^2) e r cdot 2 ln(r) = 2r ln(r) na função original usando essas relações:
Sabemos que , então a expressão fica:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite de 2r ln(r) = 2 ln(r)1/r quando ddr [2 ln(r)] = 2r tende a 0. Vamos analisar o comportamento de cada parte:
  • ddr [1/r] = -1r^2 tende a 0.
  • limr to 0 2/r-1/r^2 = limr to 0 -2r = 0 tende a quando tende a 0.
Então, temos uma forma do tipo , que é indeterminada. Para resolver isso, podemos reescrever a expressão:
Agora, isso se parece com , onde podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Calculando as derivadas do numerador e do denominador:
Aplicando a regra:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados