Converta para coordenadas polares e calcule os limites.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. A matéria que vamos usar aqui é de coordenadas polares e cálculo de limites para funções de duas variáveis. Precisamos entender como converter coordenadas cartesianas para polares e aplicar isso para facilitar o cálculo do limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, em vez de usar
e
, usamos
e
, onde
é a distância da origem e
é o ângulo com o eixo positivo
. As relações são:
E também,
Passo 3
Vamos substituir
e
na função original usando essas relações:
Sabemos que
, então a expressão fica:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite de
quando
tende a 0. Vamos analisar o comportamento de cada parte:
-
tende a 0. -
tende a quando tende a 0.
Então, temos uma forma do tipo
, que é indeterminada. Para resolver isso, podemos reescrever a expressão:
Agora, isso se parece com
, onde podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Calculando as derivadas do numerador e do denominador:
Aplicando a regra:
Resposta
O limite é igual a
.