Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais, sobre as curvas indicadas.
onde C é o círculo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green! Basicamente, temos uma integral de linha ao redor de uma curva C, que é um círculo de raio . Nosso objetivo é transformar essa integral complicada em uma integral dupla mais fácil de calcular dentro do círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que uma integral de linha ao redor de uma curva fechada pode ser convertida em uma integral dupla sobre a área delimitada por . A fórmula é:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Isso simplifica nossa integral dupla para:

Passo 5

A integral dupla de 1 sobre a área é simplesmente a área de . Como é um círculo de raio , sabemos que:
Á

Resposta

Portanto, o valor da integral dada é:

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Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais, sobre as curvas indicadas.
onde C é o quadrado com vértices .
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A área dentro do laço do folium de Descartes (ver figura abaixo).
Figura 2: O Folium de Descartes
Dica: Note que é uma parametrização para a fronteira do folium.