Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais, sobre as curvas indicadas.
onde C é o círculo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green! Basicamente, temos uma integral de linha ao redor de uma curva C, que é um círculo de raio
. Nosso objetivo é transformar essa integral complicada em uma integral dupla mais fácil de calcular dentro do círculo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
pode ser convertida em uma integral dupla sobre a área
delimitada por
. A fórmula é:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Isso simplifica nossa integral dupla para:
Passo 5
A integral dupla de 1 sobre a área
é simplesmente a área de
. Como
é um círculo de raio
, sabemos que:
Resposta
Portanto, o valor da integral dada é:
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A figura abaixo mostra três caminhos de
à
. Calcule a integral de linha de
Figura 1: Os caminhos de
à $(-1,0).
Sobre o caminho semi-circular.
Sobre o caminho semi-circular.
Um objeto de massa
se move do tempo
ao
empo
com sua posição no tempo
dada pela função vetorial
Encontre a força total agindo sobre o objeto no instante
e calcule o trabalho feito pela força durante o intervalo de tempo
.
Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais, sobre as curvas indicadas.
onde C é o quadrado com vértices
.
Usando integral de linha, calcule a área das seguintes figuras.
A área dentro do laço do folium de Descartes
(ver figura abaixo).
Figura 2: O Folium de Descartes
Dica: Note que é uma parametrização para a fronteira
do folium.
A área dentro do laço
Figura 2: O Folium de Descartes
Dica: Note que