Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais, sobre as curvas indicadas.
integral duplaC(3 x^2+y) d x+(2 x+y^3) d y onde C é o círculo x^2+y^2=a^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green! Basicamente, temos uma integral de linha ao redor de uma curva C, que é um círculo de raio . Nosso objetivo é transformar essa integral complicada em uma integral dupla mais fácil de calcular dentro do círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que uma integral de linha ao redor de uma curva fechada ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA pode ser convertida em uma integral dupla sobre a área delimitada por . A fórmula é:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (2x + y^3) = 2
partial Ppartial y = partialpartial y (3x^2 + y) = 1

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2 - 1 = 1
Isso simplifica nossa integral dupla para:
integral duplaD 1 , dA

Passo 5

A integral dupla de 1 sobre a área Área = pi a^2 é simplesmente a área de . Como é um círculo de raio , sabemos que:
Á

Resposta

Portanto, o valor da integral dada é:
pi a^2

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