Use o Teorema de De Moivre com
para expressar
e sen3 3 em termos de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de trigonometria usando o Teorema de De Moivre com
. A gente precisa expressar
e em termos de
e . Para isso, vamos usar o Teorema de De Moivre, que relaciona potências de números complexos com funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de De Moivre. Ele diz que para qualquer número real
e inteiro positivo
,
Aqui,
é a unidade imaginária, onde
.
Passo 3
No nosso caso,
. Então, aplicando o teorema, temos:
Agora, precisamos expandir o lado esquerdo da equação para encontrar expressões para
e .
Passo 4
Vamos expandir usando a fórmula do binômio de Newton:
Substituindo
e , temos:
Passo 5
Agora, vamos simplificar cada termo:
-
permanece como está.
Passo 6
Juntando todos os termos, temos:
Podemos separar as partes reais e imaginárias:
Passo 7
De acordo com o Teorema de De Moivre, a parte real é igual a
e a parte imaginária é igual a . Então:
Passo 8
Para simplificar ainda mais, podemos usar a identidade trigonométrica . Substituindo na expressão de
:
E para :
Resposta
As expressões de
e em termos de
e são:
Exercícios relacionados
Determine a forma polar para
e
colocando primeiro
e
na forma polar.
Calcule a expressão e escreva sua resposta na forma
.
Simplifique as expressões abaixo:
$(b) ;
$(b)
Simplifique as expressões abaixo:
$(e) ;
$(e)