Use o Teorema de De Moivre com n = 3 para expressar cos(3 theta) e sen3 3 em termos de cos(theta) e sen(theta).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de trigonometria usando o Teorema de De Moivre com . A gente precisa expressar e em termos de e . Para isso, vamos usar o Teorema de De Moivre, que relaciona potências de números complexos com funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de De Moivre. Ele diz que para qualquer número real e inteiro positivo ,
Aqui, é a unidade imaginária, onde .

Passo 3

No nosso caso, . Então, aplicando o teorema, temos:
Agora, precisamos expandir o lado esquerdo da equação para encontrar expressões para e .

Passo 4

Vamos expandir usando a fórmula do binômio de Newton:
Substituindo e , temos:

Passo 5

Agora, vamos simplificar cada termo:
  1. permanece como está.

Passo 6

Juntando todos os termos, temos:
Podemos separar as partes reais e imaginárias:

Passo 7

De acordo com o Teorema de De Moivre, a parte real é igual a e a parte imaginária é igual a . Então:

Passo 8

Para simplificar ainda mais, podemos usar a identidade trigonométrica . Substituindo na expressão de :
E para :

Resposta

As expressões de e em termos de e são:

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