Em cada item abaixo, calcule a derivada da função f no ponto x_0 indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(f) f(x) = tg(x), x0 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de calcular a derivada da função no ponto . Aqui, a gente vai trabalhar com derivadas, que é um conceito de cálculo que mede como uma função muda em relação a uma das suas variáveis. Para isso, vamos precisar usar a definição de derivada, que envolve limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a derivada de uma função usando a definição. A derivada de em é dada por:
Esse limite nos diz a taxa de variação instantânea da função naquele ponto.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função no ponto :
Sabemos que , então a expressão simplifica para:

Passo 4

Vamos resolver esse limite. Uma propriedade importante é que:
Isso porque, para valores pequenos de , é aproximadamente igual a .

Resposta

Portanto, a derivada da função no ponto é:

Exercícios relacionados

En cada caso clasifica la ecuación diferencial de acuerdo a los criterios estudiados:
d^3 y/d x^3 + 2(d^2 y/d x^2)^3 + d y/d x = tg(x)
Use o Teorema de Stokes para calcular integral duplas curl F cdot d S.
(a) F(x, y, z)=2 y cos z i+e^x sin z j+x e^y k, S é o hemisfério x^2+y^2+z^2=9, z <= 0, de orientação ascendente.
Averigüe si son soluciones de las ecuaciones diferenciales que dan, las funciones que si indican:
x''(t) + w^2 x(t) = 0 ; x(t) = C1 cos(w t) + C2 sen(w t)
(PUC-RJ) Uma bola é lançada de uma torre, para baixo. A bola não é deixada cair mas, sim, lançada com uma certa velocidade inicial para baixo. Sua aceleração para baixo é ( g refere-se à aceleração da gravidade):
a) exatamente igual ag
b) maior do que g
c) menor do que g
d) inicialmente, maior do que g , mas rapidamente estabilizando em g
e) inicialmente, menor do que g, mas rapidamente estabilizando em g