Em cada item abaixo, calcule a derivada da função
no ponto
indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de calcular a derivada da função
no ponto
. Aqui, a gente vai trabalhar com derivadas, que é um conceito de cálculo que mede como uma função muda em relação a uma das suas variáveis. Para isso, vamos precisar usar a definição de derivada, que envolve limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a derivada de uma função usando a definição. A derivada de
em
é dada por:
Esse limite nos diz a taxa de variação instantânea da função naquele ponto.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
no ponto
:
Sabemos que
, então a expressão simplifica para:
Passo 4
Vamos resolver esse limite. Uma propriedade importante é que:
Isso porque, para valores pequenos de
,
é aproximadamente igual a
.
Resposta
Portanto, a derivada da função
no ponto
é:
Exercícios relacionados
En cada caso clasifica la ecuación diferencial de acuerdo a los criterios estudiados:
Use o Teorema de Stokes para calcular
.
(a) é o hemisfério
, de orientação ascendente.
(a)
Averigüe si son soluciones de las ecuaciones diferenciales que dan, las funciones que si indican:
(PUC-RJ) Uma bola é lançada de uma torre, para baixo. A bola não é deixada cair mas, sim, lançada com uma certa velocidade inicial para baixo. Sua aceleração para baixo é ( g refere-se à aceleração da gravidade):
a) exatamente igual ag
b) maior do que
c) menor do que g
d) inicialmente, maior do que g , mas rapidamente estabilizando em g
e) inicialmente, menor do que , mas rapidamente estabilizando em g
a) exatamente igual ag
b) maior do que
c) menor do que g
d) inicialmente, maior do que g , mas rapidamente estabilizando em g
e) inicialmente, menor do que