Em cada item abaixo, calcule a derivada da função f no ponto x_0 indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(f) f(x) = tg(x), x0 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de calcular a derivada da função no ponto . Aqui, a gente vai trabalhar com derivadas, que é um conceito de cálculo que mede como uma função muda em relação a uma das suas variáveis. Para isso, vamos precisar usar a definição de derivada, que envolve limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a derivada de uma função usando a definição. A derivada de em é dada por:
Esse limite nos diz a taxa de variação instantânea da função naquele ponto.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função no ponto :
Sabemos que , então a expressão simplifica para:

Passo 4

Vamos resolver esse limite. Uma propriedade importante é que:
Isso porque, para valores pequenos de , é aproximadamente igual a .

Resposta

Portanto, a derivada da função no ponto é:

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