2-6 Use o Teorema de Stokes para calcular integral duplaS curl F cdot d S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de superfície integral duplaS curl F cdot d S. Isso está relacionado ao campo vetorial F e a uma superfície S. Vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicá-lo para transformar essa integral de superfície em uma integral de linha mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Teorema de Stokes. Esse teorema conecta uma integral de superfície à integral de linha ao redor da borda dessa superfície. Em outras palavras, ele nos diz que a integral da ordem superior (superfície) pode ser transformada em uma integral mais simples ao longo da fronteira.
Matematicamente, o Teorema de Stokes é dado por:
integral duplaS curl F cdot dS = ointpartial S F cdot dr
Aqui, partial S representa a curva que é a borda da superfície S, e dr é o elemento de linha ao longo dessa borda.

Passo 3

Então, para resolver a integral de superfície usando o Teorema de Stokes, seguimos esses passos:
  1. Identificar a borda partial S da superfície S: Precisamos saber qual é a curva que delimita a superfície onde vamos calcular a integral de linha.
  2. Parametrizar a curva partial S: Ou seja, expressar a curva em termos de uma variável, geralmente t, para facilitar o cálculo da integral de linha.
  3. Calcular F cdot dr ao longo da curva: Multiplicamos o campo vetorial F pela derivada do vetor posição dr.
  4. Integrar ao longo da curva parametrizada: Executamos a integral de t sobre os limites apropriados para obter o valor final.

Passo 4

Vamos supor que já identificamos a borda partial S e conseguimos parametrizá-la como r(t), com t variando de a a b. A integral de linha fica então:
ointpartial S F cdot dr = integrala^b F(r(t)) cdot r'(t) , dt
Aqui, r'(t) é a derivada da parametrização da curva em relação a t.

Passo 5

Calculamos a integral de linha substituindo F(r(t)) e r'(t) na expressão acima e realizando a multiplicação escalar. Depois, integramos em relação a t de a a b.

Resposta

Após seguir os passos acima, a integral de superfície integral duplaS curl F cdot d S é igual à integral de linha ointpartial S F cdot dr. Portanto:
integral duplaS curl F cdot d S = ointpartial S F cdot dr

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