2-6 Use o Teorema de Stokes para calcular
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de superfície
. Isso está relacionado ao campo vetorial
e a uma superfície
. Vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicá-lo para transformar essa integral de superfície em uma integral de linha mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Teorema de Stokes. Esse teorema conecta uma integral de superfície à integral de linha ao redor da borda dessa superfície. Em outras palavras, ele nos diz que a integral da ordem superior (superfície) pode ser transformada em uma integral mais simples ao longo da fronteira.
Matematicamente, o Teorema de Stokes é dado por:
Aqui,
representa a curva que é a borda da superfície
, e
é o elemento de linha ao longo dessa borda.
Passo 3
Então, para resolver a integral de superfície usando o Teorema de Stokes, seguimos esses passos:
-
Identificar a borda
da superfície : Precisamos saber qual é a curva que delimita a superfície onde vamos calcular a integral de linha. -
Parametrizar a curva
: Ou seja, expressar a curva em termos de uma variável, geralmente , para facilitar o cálculo da integral de linha. -
Calcular
ao longo da curva: Multiplicamos o campo vetorial pela derivada do vetor posição . -
Integrar ao longo da curva parametrizada: Executamos a integral de
sobre os limites apropriados para obter o valor final.
Passo 4
Vamos supor que já identificamos a borda
e conseguimos parametrizá-la como
, com
variando de
a
. A integral de linha fica então:
Aqui,
é a derivada da parametrização da curva em relação a
.
Passo 5
Calculamos a integral de linha substituindo
e
na expressão acima e realizando a multiplicação escalar. Depois, integramos em relação a
de
a
.
Resposta
Após seguir os passos acima, a integral de superfície
é igual à integral de linha
. Portanto: