Decida sobre a convergência das séries, justificando: .
Passo 1
Vamos analisar a série . O objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge para qualquer número real . Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar a convergência de séries envolvendo fatoriais e potências.
Passo 2
Primeiro, identificamos o termo geral da série, que é . O Teste da Razão funciona calculando o limite do valor absoluto da razão entre termos consecutivos da série, ou seja, .
Passo 3
Vamos calcular essa razão:
Então, temos:
Passo 4
Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Esse limite é igual a 0, que é menor que 1.
Passo 5
De acordo com o Teste da Razão, se o limite da razão for menor que 1, a série converge absolutamente. Como nosso limite é 0, que definitivamente �� menor que 1, concluímos que a série converge para todo valor real de .
Resposta
A série converge absolutamente para qualquer número real .