Decida sobre a convergência das séries, justificando: sumn=1^infty x^nn!, x in R.

Passo 1

Vamos analisar a série sumn=1^infty x^nn!. O objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge para qualquer número real x. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar a convergência de séries envolvendo fatoriais e potências.

Passo 2

Primeiro, identificamos o termo geral da série, que é an = x^nn!. O Teste da Razão funciona calculando o limite do valor absoluto da razão entre termos consecutivos da série, ou seja, limn to infty | an+1an |.

Passo 3

Vamos calcular essa razão:
an+1an = x^n+1(n+1)!x^nn! = x^n+1 cdot n!x^n cdot (n+1)! = xn+1
Então, temos:
| an+1an | = | xn+1 |

Passo 4

Agora, calculamos o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty | xn+1 | = 0
Esse limite é igual a 0, que é menor que 1.

Passo 5

De acordo com o Teste da Razão, se o limite da razão for menor que 1, a série converge absolutamente. Como nosso limite é 0, que definitivamente �� menor que 1, concluímos que a série converge para todo valor real de x.

Resposta

A série sumn=1^infty x^nn! converge absolutamente para qualquer número real x.

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