Consider the problem of finding a solution u(x, y) of Laplace
u_x(0, y) = 0, u_x(a, y) = f(y), 0 < y < b; u_y(x, 0) = 0, u_y(x, b) = 0, 0 < x < a
This is an example of a Neumann problem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema envolvendo a Equação de Laplace e condições de contorno do tipo Neumann. A Equação de Laplace é uma equação diferencial parcial que aparece em várias áreas da física, como eletrostática e fluxo de calor. As condições de contorno de Neumann especificam as derivadas das funções nas fronteiras do domínio. Para resolver esse problema, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e aplicar as condições de contorno adequadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as variáveis e a região onde queremos encontrar a solução. Temos u(x, y) definida em um retângulo onde e . As condições de contorno dadas são:
  • e para .
  • e para .
Aqui, u_x e uy representam as derivadas parciais de u em relação a x e y, respectivamente.

Passo 3

Vamos procurar uma solução na forma de produto de funções separadas: . Isso significa que a função u pode ser escrita como o produto de uma função somente de x e outra somente de y. Esse método é útil para resolver equações diferenciais parciais quando as variáveis podem ser separadas.

Passo 4

Substituindo na Equação de Laplace, que é , temos:
Dividindo ambos os lados por , obtemos:
Como as duas partes são funções de variáveis diferentes, cada uma deve ser igual a uma constante negativa, digamos . Então, temos:

Passo 5

Agora, resolvemos as equações diferenciais resultantes:
Para :
A solução geral é:
Para :
A solução geral é:

Passo 6

Aplicamos agora as condições de contorno para determinar as constantes.
Primeiro, para e :
Derivando u(x, y) em relação a y:
Isso requer que e . Aplicando isso na solução de :
Impondo :
Impondo :
Como , temos:
Para soluções não triviais, , então , o que só ocorre se .
Portanto, e as soluções se reduzem a constantes, ou seja:
Então, a solução geral é:
Agora, aplicamos as condições de contorno em x.
Para :
á
Para :
Isso implica que para todas as y, o que significa que a única solução possível é uma constante, já que f(y) deve ser zero.

Resposta

A solução da equação de Laplace com as condições de contorno de Neumann dadas é uma constante, ou seja:

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