Consider the problem of finding a solution of Laplace
This is an example of a Neumann problem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um problema envolvendo a Equação de Laplace e condições de contorno do tipo Neumann. A Equação de Laplace é uma equação diferencial parcial que aparece em várias áreas da física, como eletrostática e fluxo de calor. As condições de contorno de Neumann especificam as derivadas das funções nas fronteiras do domínio. Para resolver esse problema, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e aplicar as condições de contorno adequadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as variáveis e a região onde queremos encontrar a solução. Temos definida em um retângulo onde e . As condições de contorno dadas são:
e para .
e para .
Aqui, e representam as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.
Passo 3
Vamos procurar uma solução na forma de produto de funções separadas: . Isso significa que a função pode ser escrita como o produto de uma função somente de e outra somente de . Esse método é útil para resolver equações diferenciais parciais quando as variáveis podem ser separadas.
Passo 4
Substituindo na Equação de Laplace, que é , temos:
Dividindo ambos os lados por , obtemos:
Como as duas partes são funções de variáveis diferentes, cada uma deve ser igual a uma constante negativa, digamos . Então, temos:
Passo 5
Agora, resolvemos as equações diferenciais resultantes:
Para :
A solução geral é:
Para :
A solução geral é:
Passo 6
Aplicamos agora as condições de contorno para determinar as constantes.
Primeiro, para e :
Derivando em relação a :
Isso requer que e . Aplicando isso na solução de :
Impondo :
Impondo :
Como , temos:
Para soluções não triviais, , então , o que só ocorre se .
Portanto, e as soluções se reduzem a constantes, ou seja:
Então, a solução geral é:
Agora, aplicamos as condições de contorno em .
Para :
Para :
Isso implica que para todas as , o que significa que a única solução possível é uma constante, já que deve ser zero.
Resposta
A solução da equação de Laplace com as condições de contorno de Neumann dadas é uma constante, ou seja: