Use o Teorema de Stokes para calcular
. Onde
é orientada no sentido anti-horário quando visto de cima.
é a curva da interseç̧ão do plano
e do cilindro
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para calcular a integral de linha
usando o Teorema de Stokes. A curva
é a interseção do plano
com o cilindro
, e ela está orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. A função vetorial
é dada por
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva com uma integral de superfície sobre uma superfície que tem essa curva como fronteira. Então, vamos seguir os passos para aplicar esse teorema aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que:
Ou seja, a integral de linha de
ao redor de
é igual à integral de superfície do rotacional de
(que é
) vezes o vetor normal
à superfície
que tem
como fronteira.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
, que é
. Lembrando que, para
, o rotacional é dado por:
Vamos aplicar isso à nossa
:
Calculando as derivadas parciais:
Então, o rotacional fica:
Passo 4
Agora, precisamos escolher uma superfície
que tenha
como fronteira. Uma boa escolha aqui é o próprio plano
, porque é mais fácil de lidar. Vamos parametrizar essa superfície.
No plano
e sobre o cilindro
, podemos usar coordenadas cilíndricas para simplificar. Vamos deixar
,
, e
, onde
(porque
implica
).
O vetor normal
para a superfície pode ser encontrado a partir da equação do plano. A equação
pode ser rearranjada como
, então os coeficientes são
,
,
, e
. Assim, o vetor normal não normalizado é
.
Para garantir que a orientação esteja correta (anti-horário visto de cima), verificamos que o vetor normal deve apontar para cima. Como a componente
de
é negativa, vamos inverter o vetor para
.
Agora, precisamos calcular o produto escalar
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de superfície:
A área da superfície
é a área do círculo com raio 2 no plano
. Em coordenadas cilíndricas, a área é simplesmente
.
Então,