Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r. Onde C é orientada no sentido anti-horário quando visto de cima.
F(x, y, z) 2 z i+4 x j+5 y k, C é a curva da interseç̧ão do plano z=x+4 e do cilindro x^2+y^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para calcular a integral de linha usando o Teorema de Stokes. A curva é a interseção do plano com o cilindro , e ela está orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. A função vetorial é dada por .
Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva com uma integral de superfície sobre uma superfície que tem essa curva como fronteira. Então, vamos seguir os passos para aplicar esse teorema aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Ou seja, a integral de linha de ao redor de é igual à integral de superfície do rotacional de (que é ) vezes o vetor normal à superfície que tem como fronteira.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i - ( partial Rpartial x - partial Ppartial z ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k , que é F = 2z i + 4x j + 5y k . Lembrando que, para partial Rpartial y = partial (5y)partial y = 5 , o rotacional é dado por:
partial Qpartial z = partial (4x)partial z = 0
Vamos aplicar isso à nossa partial Rpartial x = partial (5y)partial x = 0 :
partial Ppartial z = partial (2z)partial z = 2
Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partial (4x)partial x = 4
partial Ppartial y = partial (2z)partial y = 0
nabla times F = (5 - 0) i - (0 - 2) j + (4 - 0) k = 5i + 2j + 4k
Então, o rotacional fica:

Passo 4

Agora, precisamos escolher uma superfície (nabla times F) cdot n = lang<= 5, 2, 4 rang<= cdot lang<= -1, 0, 1 rang<= = (5)(-1) + (2)(0) + (4)(1) = -5 + 0 + 4 = -1 que tenha como fronteira. Uma boa escolha aqui é o próprio plano , porque é mais fácil de lidar. Vamos parametrizar essa superfície.
No plano e sobre o cilindro , podemos usar coordenadas cilíndricas para simplificar. Vamos deixar , , e , onde (porque implica ).
O vetor normal para a superfície pode ser encontrado a partir da equação do plano. A equação pode ser rearranjada como , então os coeficientes são , , , e . Assim, o vetor normal não normalizado é .
Para garantir que a orientação esteja correta (anti-horário visto de cima), verificamos que o vetor normal deve apontar para cima. Como a componente de é negativa, vamos inverter o vetor para .
Agora, precisamos calcular o produto escalar :

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaS (-1) , dS = - integral duplaS dS
A área da superfície - integral duplaS dS = -4pi é a área do círculo com raio 2 no plano . Em coordenadas cilíndricas, a área é simplesmente .
Então,

Resposta

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