Determine os valores máximos e mínimos da função:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de calcular os valores máximos e mínimos da função . Esse tipo de problema faz parte do estudo de funções de várias variáveis na matemática, especificamente no cálculo de otimização. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e encontrar os pontos críticos da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando alteramos uma variável enquanto mantemos a outra constante.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função, que são os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Isso significa resolver o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, da primeira equação:
Agora, substituímos na segunda equação:
Agora, substituímos o valor de na expressão para :
Então, o ponto crítico é .

Passo 4

Para determinar se esse ponto crítico é um mínimo, um máximo ou um ponto de sela, vamos analisar a natureza da função usando a segunda derivada ou o teste da derivada segunda. Calculamos a segunda derivada cruzada para isso.
As segundas derivadas são:
Calculamos o discriminante :
Como e , isso indica que o ponto crítico é um ponto de mínimo.

Resposta

A função atinge seu valor mínimo no ponto . Não há um valor máximo finito para essa função, pois ela tende ao infinito positivo conforme e aumentam.

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