Determine os valores máximos e mínimos da função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de calcular os valores máximos e mínimos da função
. Esse tipo de problema faz parte do estudo de funções de várias variáveis na matemática, especificamente no cálculo de otimização. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e encontrar os pontos críticos da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando alteramos uma variável enquanto mantemos a outra constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função, que são os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Isso significa resolver o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, da primeira equação:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Agora, substituímos o valor de
na expressão para
:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 4
Para determinar se esse ponto crítico é um mínimo, um máximo ou um ponto de sela, vamos analisar a natureza da função usando a segunda derivada ou o teste da derivada segunda. Calculamos a segunda derivada cruzada para isso.
As segundas derivadas são:
Calculamos o discriminante
:
Como
e
, isso indica que o ponto crítico é um ponto de mínimo.
Resposta
A função
atinge seu valor mínimo no ponto
. Não há um valor máximo finito para essa função, pois ela tende ao infinito positivo conforme
e
aumentam.
Exercícios relacionados
Mostre que qualquer campo vetorial da forma
, onde
são diferenciáveis, é incompressível.
Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial dado:
.
Use o Teorema de Stokes para calcular
. Onde
é orientada no sentido anti-horário quando visto de cima.
é a curva da interseç̧ão do plano
e do cilindro
.
Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro (aplicável) para um campo vetorial
dado e a superfícis
dada.
,
é a parte do parabolóide
que está acima do plano
, com orientação para cima.