Mostre que qualquer campo vetorial da forma , onde são diferenciáveis, é incompressível.

Passo 1

Neste exercício, a gente precisa mostrar que qualquer campo vetorial da forma , onde , , e são funções diferenciáveis, é incompressível. Para isso, vamos usar o conceito de divergência de um campo vetorial, que nos ajuda a determinar se o campo é incompressível (ou seja, se a divergência é igual a zero).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a divergência de um campo vetorial. Se tivermos um campo , a divergência é dada por:

Passo 3

No nosso caso, temos:
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais.

Passo 4

Calculando :
Isso acontece porque depende apenas de e , então a derivada em relação a é zero.

Passo 5

Calculando :
Aqui, depende apenas de e , então a derivada em relação a também é zero.

Passo 6

Calculando :
Da mesma forma, depende apenas de e , portanto a derivada em relação a é zero.

Resposta

Somando todas as derivadas parciais, temos:
Como a divergência é zero, concluímos que o campo vetorial é incompressível.

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