Mostre que qualquer campo vetorial da forma
, onde
são diferenciáveis, é incompressível.
Passo 1
Neste exercício, a gente precisa mostrar que qualquer campo vetorial da forma
, onde
,
, e
são funções diferenciáveis, é incompressível. Para isso, vamos usar o conceito de divergência de um campo vetorial, que nos ajuda a determinar se o campo é incompressível (ou seja, se a divergência é igual a zero).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a divergência de um campo vetorial. Se tivermos um campo
, a divergência é dada por:
Passo 3
No nosso caso, temos:
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais.
Passo 4
Calculando
:
Isso acontece porque
depende apenas de
e
, então a derivada em relação a
é zero.
Passo 5
Calculando
:
Aqui,
depende apenas de
e
, então a derivada em relação a
também é zero.
Passo 6
Calculando
:
Da mesma forma,
depende apenas de
e
, portanto a derivada em relação a
é zero.
Resposta
Somando todas as derivadas parciais, temos:
Como a divergência é zero, concluímos que o campo vetorial
é incompressível.
Exercícios relacionados
Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial dado:
.
Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial dado:
.
Determine os valores máximos e mínimos da função:
Use o Teorema de Stokes para calcular
. Onde
é orientada no sentido anti-horário quando visto de cima.
é a curva da interseç̧ão do plano
e do cilindro
.