Use o teste da comparação para verificar se as integrais abaixo convergem ou divergem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teste da comparação para verificar se a integral
converge ou diverge. Isso está relacionado a cálculo integral e, mais especificamente, a análise de integrais impróprias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o teste da comparação. Esse teste serve para comparar a nossa função com uma outra função cuja integral sabemos se converge ou diverge. Se a nossa função for menor que uma função que converge, então a integral também converge. Se for maior que uma função que diverge, então a integral também diverge.
Passo 3
Vamos analisar a função
. Para facilitar, vamos simplificar o denominador considerando que para valores grandes de
,
. Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos comparar nossa função com
. Sabemos que a integral
é uma integral p, onde
. Como
, essa integral converge.
Passo 5
Como nossa função
é aproximadamente igual a
para
grandes e
, podemos aplicar o teste da comparação. Já que a função de comparação
converge, nossa integral original também converge.
Resposta
A integral
converge pelo teste da comparação.
Exercícios relacionados
Para as funções indicadas encontre a série de Fourier de
ou de
extendida na forma indicada.
b) Encontre a série de Fourier em senos com perído 4 para a função:
b) Encontre a série de Fourier em senos com perído 4 para a função:
Verifique se as integrais abaixo são convergentes (neste caso, apresente o valor para o qual a integral converge) ou divergentes:
Verifique se as integrais abaixo são convergentes (neste caso, apresente o valor para o qual a integral converge) ou divergentes:
Desenhe as regiões e calcule sua área: