Verifique se as integrais abaixo são convergentes (neste caso, apresente o valor para o qual a integral converge) ou divergentes:
Passo 1
Beleza, vamos analisar essa integral:
Aqui, estamos lidando com uma integral imprópria, porque o limite superior é infinito. O objetivo é verificar se essa integral converge (ou seja, se ela tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre integrais impróprias e funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral imprópria do tipo:
é definida como o limite quando
tende ao infinito de:
Então, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, para resolver a integral
, vamos usar o método de integração por partes. A integração por partes é baseada na fórmula:
Vamos escolher:
-
⟹ -
⟹
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos integrar
. Vamos aplicar novamente a integração por partes, escolhendo:
-
⟹ -
⟹
Passo 6
Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
Simplificando:
Passo 7
Agora, substituímos essa expressão na equação anterior:
Simplificando:
Passo 8
Vamos somar
dos dois lados para isolar a integral:
Dividindo ambos os lados por 2:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Agora, voltando à nossa integral imprópria:
Vamos avaliar o limite quando
tende ao infinito.
Passo 10
Observe que
tende a 0 quando
tende ao infinito, e tanto
quanto
são funções limitadas entre -1 e 1. Portanto, o termo:
quando
.
Passo 11
Agora, avaliando no ponto
:
Resposta
A integral é convergente e seu valor é:
Exercícios relacionados
Use o teste da comparação para verificar se as integrais abaixo convergem ou divergem:
Para as funções indicadas encontre a série de Fourier de
ou de
extendida na forma indicada.
b) Encontre a série de Fourier em senos com perído 4 para a função:
b) Encontre a série de Fourier em senos com perído 4 para a função:
Desenhe as regiões e calcule sua área:
Verifique se as integrais abaixo são convergentes (neste caso, apresente o valor para o qual a integral converge) ou divergentes: