Para as funções indicadas encontre a série de Fourier de f(x) ou de f(x) extendida na forma indicada.
b) Encontre a série de Fourier em senos com perído 4 para a função: f(x) = { x 0 <= x < 1, 1 1 <= x < 2 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier em senos para a função com período 4. Isso significa que vamos expressar como uma soma de senos com múltiplos de uma frequência fundamental. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries de Fourier, especificamente a parte das séries que envolve apenas senos, já que queremos uma série de senos. Vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier que correspondem aos termos de seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier em senos para uma função periódica de período pode ser escrita da seguinte forma:
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar. A frequência fundamental é , já que .

Passo 3

Para encontrar os coeficientes , usamos a fórmula específica para séries de senos:
Onde . Então, a fórmula fica:

Passo 4

A função está definida por partes no intervalo de 0 a 2:
Vamos dividir a integral em duas partes correspondentes a essas definições:

Passo 5

Vamos calcular a primeira integral:
Usando integração por partes, onde e . Então, e .
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Então,
Calculando os limites:

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda integral:
A integral de é . Então,

Passo 7

Agora, somando as duas partes que calculamos:
Simplificando os termos:
Percebemos que os termos com se cancelam parcialmente:

Passo 8

Agora, vamos usar as identidades trigonométricas para simplificar e :
Sabemos que:
E,
ééíúéíú
Portanto, a expressão para fica:

Passo 9

Vamos agora substituir na série de Fourier:
Essa é a série de Fourier em senos para a função dada.

Resposta

A série de Fourier em senos para a função com período 4 é dada por:

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Verifique se as integrais abaixo são convergentes (neste caso, apresente o valor para o qual a integral converge) ou divergentes:
integral1^infty 1x raizx d x
Verifique se as integrais abaixo são convergentes (neste caso, apresente o valor para o qual a integral converge) ou divergentes:
integral-infty^infty x e^-x d x
Use o teste da comparação para verificar se as integrais abaixo convergem ou divergem:
integral1^infty xx^3+1 d x
Verifique se as integrais abaixo são convergentes (neste caso, apresente o valor para o qual a integral converge) ou divergentes:
integral1^infty e^-x sen(x) d x