Para as funções indicadas encontre a série de Fourier de ou de extendida na forma indicada.
b) Encontre a série de Fourier em senos com perído 4 para a função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier em senos para a função com período 4. Isso significa que vamos expressar como uma soma de senos com múltiplos de uma frequência fundamental. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries de Fourier, especificamente a parte das séries que envolve apenas senos, já que queremos uma série de senos. Vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier que correspondem aos termos de seno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier em senos para uma função periódica de período pode ser escrita da seguinte forma:
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar. A frequência fundamental é , já que .
Passo 3
Para encontrar os coeficientes , usamos a fórmula específica para séries de senos:
Onde . Então, a fórmula fica:
Passo 4
A função está definida por partes no intervalo de 0 a 2:
Vamos dividir a integral em duas partes correspondentes a essas definições:
Passo 5
Vamos calcular a primeira integral:
Usando integração por partes, onde e . Então, e .
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Então,
Calculando os limites:
Passo 6
Agora, vamos calcular a segunda integral:
A integral de é . Então,
Passo 7
Agora, somando as duas partes que calculamos:
Simplificando os termos:
Percebemos que os termos com se cancelam parcialmente:
Passo 8
Agora, vamos usar as identidades trigonométricas para simplificar e :
Sabemos que:
E,
Portanto, a expressão para fica:
Passo 9
Vamos agora substituir na série de Fourier:
Essa é a série de Fourier em senos para a função dada.
Resposta
A série de Fourier em senos para a função com período 4 é dada por: