Verifique se as integrais abaixo são convergentes (neste caso, apresente o valor para o qual a integral converge) ou divergentes:
Passo 1
Beleza, vamos ver esse exercício juntos. A gente precisa verificar se a integral
converge ou diverge. Isso envolve trabalhar com integrais impróprias, que são aquelas com limites infinitos ou com funções que têm descontinuidades no intervalo de integração. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo sobre integrais de funções do tipo potência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos
. Sabemos que
é o mesmo que
. Então, podemos reescrever a expressão como:
Agora, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos lembrar de uma regra importante para integrais desse tipo. A integral
converge se o expoente
for maior que 1 e diverge se for menor ou igual a 1. No nosso caso,
, que é maior que 1. Então, já sabemos que a integral vai convergir.
Passo 4
Apesar de já sabermos que ela converge, vamos calcular o valor dela. A antiderivada de
é:
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 1 até
.
Passo 5
Primeiro, calculamos o limite quando
vai para o infinito:
Depois, calculamos quando
:
Agora, subtraímos os dois resultados:
Resposta
A integral
converge e o seu valor é 2.
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Verifique se as integrais abaixo são convergentes (neste caso, apresente o valor para o qual a integral converge) ou divergentes:
Determine as equações do plano tangente e da reta normal à esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$ no ponto de coordenadas $(2,2,-1)$.
Para as funções indicadas encontre a série de Fourier de
ou de
extendida na forma indicada.
b) Encontre a série de Fourier em senos com perído 4 para a função:
b) Encontre a série de Fourier em senos com perído 4 para a função:
Use o teste da comparação para verificar se as integrais abaixo convergem ou divergem: