Verifique se as integrais abaixo são convergentes (neste caso, apresente o valor para o qual a integral converge) ou divergentes:
integral1^infty 1x raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos ver esse exercício juntos. A gente precisa verificar se a integral converge ou diverge. Isso envolve trabalhar com integrais impróprias, que são aquelas com limites infinitos ou com funções que têm descontinuidades no intervalo de integração. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo sobre integrais de funções do tipo potência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos 1x cdot x^1/2 = 1x^3/2 . Sabemos que integral1^infty 1x^3/2 , dx é o mesmo que . Então, podemos reescrever a expressão como:
Agora, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma regra importante para integrais desse tipo. A integral converge se o expoente for maior que 1 e diverge se for menor ou igual a 1. No nosso caso, , que é maior que 1. Então, já sabemos que a integral vai convergir.

Passo 4

Apesar de já sabermos que ela converge, vamos calcular o valor dela. A antiderivada de integral 1x^3/2 , dx = -2raizx + C é:
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 1 até .

Passo 5

Primeiro, calculamos o limite quando -2raizinfty = 0 vai para o infinito:
-2raiz1 = -2
Depois, calculamos quando 0 - (-2) = 2 :
Agora, subtraímos os dois resultados:

Resposta

A integral converge e o seu valor é 2.

Exercícios relacionados

Verifique se as integrais abaixo são convergentes (neste caso, apresente o valor para o qual a integral converge) ou divergentes:
integral-infty^infty x e^-x d x
Determine as equações do plano tangente e da reta normal à esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$ no ponto de coordenadas $(2,2,-1)$.
Para as funções indicadas encontre a série de Fourier de f(x) ou de f(x) extendida na forma indicada.
b) Encontre a série de Fourier em senos com perído 4 para a função: f(x) = { x 0 <= x < 1, 1 1 <= x < 2 }
Use o teste da comparação para verificar se as integrais abaixo convergem ou divergem:
integral1^infty xx^3+1 d x