Encontre o máximo e o mínimo da função sujeita as restrições dadas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o máximo e o mínimo da função sujeita à restrição . Isso envolve otimização com restrições, então vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma restrição. Aqui, a restrição define um círculo com raio 4 no plano xy. Queremos encontrar os pontos nesse círculo onde a função atinge seus valores máximos e mínimos.

Passo 3

O método dos multiplicadores de Lagrange nos ajuda a otimizar uma função sujeita a uma restrição. Para isso, definimos uma nova função, chamada de lagrangiana:
onde é a restrição e . Então, nossa lagrangiana fica:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da lagrangiana em relação a , e e igualá-las a zero:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações. Da terceira equação, já sabemos que .
Das duas primeiras equações:

Passo 6

Dividindo as duas equações para eliminar :
Isso nos dá a relação .

Passo 7

Usando a relação na equação da restrição :
Então, .

Passo 8

Substituindo de volta na relação :
ou

Passo 9

Agora, temos dois pontos críticos:
Vamos calcular em cada ponto.
Para o primeiro ponto:
Para o segundo ponto:

Resposta

O máximo da função é e o mínimo é .

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Determine os pontos críticos da função em cada um dos ítens abaixo:
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Use o teste da derivada segunda para classificar os extremos da função em ponto de máximo, de mínimo ou de sela em cada um dos ítens abaixo:
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