Encontre o máximo e o mínimo da função
sujeita as restrições dadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o máximo e o mínimo da função
sujeita à restrição
. Isso envolve otimização com restrições, então vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma restrição. Aqui, a restrição
define um círculo com raio 4 no plano xy. Queremos encontrar os pontos nesse círculo onde a função
atinge seus valores máximos e mínimos.
Passo 3
O método dos multiplicadores de Lagrange nos ajuda a otimizar uma função sujeita a uma restrição. Para isso, definimos uma nova função, chamada de lagrangiana:
onde
é a restrição e
. Então, nossa lagrangiana fica:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da lagrangiana em relação a
,
e
e igualá-las a zero:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações. Da terceira equação, já sabemos que
.
Das duas primeiras equações:
Passo 6
Dividindo as duas equações para eliminar
:
Isso nos dá a relação
.
Passo 7
Usando a relação
na equação da restrição
:
Então,
.
Passo 8
Substituindo
de volta na relação
:
ou
Passo 9
Agora, temos dois pontos críticos:
Vamos calcular
em cada ponto.
Para o primeiro ponto:
Para o segundo ponto:
Resposta
O máximo da função
é
e o mínimo é
.
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