Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. 42. Se r(t) for uma função vetorial do espaço bidimensional e ||r(t)|| for constante, então r(t) e r'(t) serão vetores paralelos, com qualquer t.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “Se for uma função vetorial do espaço bidimensional e for constante, então e serão vetores paralelos, com qualquer .”
Aqui, estamos trabalhando com funções vetoriais e derivadas vetoriais. Precisamos entender como a constância da magnitude da função vetorial influencia a relação entre e sua derivada .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a magnitude de um vetor é dada por . Se essa magnitude é constante, queremos saber o que isso diz sobre a relação entre e .

Passo 3

Se é constante, então a derivada dessa magnitude em relação ao tempo é zero. Vamos calcular a derivada da magnitude ao quadrado para simplificar:

Passo 4

Da equação acima, temos que . Isso significa que o produto escalar entre e é zero, indicando que os dois vetores são perpendiculares entre si.

Passo 5

A afirmação original sugere que e são paralelos. No entanto, concluímos que eles são perpendiculares, não paralelos, quando a magnitude de é constante.

Resposta

Falsa. Quando é constante, e são vetores perpendiculares, não paralelos.

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