Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série converge ou diverge. Aqui, estamos lidando com séries infinitas, e vamos precisar entender um pouco sobre testes de convergência, especificamente o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert).
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão do termo geral da série. A gente tem o denominador . Isso pode ser escrito como , porque cada termo é múltiplo de 2 e temos n desses termos. Então, a série fica:
Passo 3
Agora, para verificar se essa série converge ou diverge, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o comportamento da série observando a razão entre termos consecutivos. A regra é:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos calcular an = n^22^n cdot n! e an+1 = (n+1)^22^n+1 cdot (n+1)! :