Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
(h) sumn=1^infty n^22 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot(2 n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série converge ou diverge. Aqui, estamos lidando com séries infinitas, e vamos precisar entender um pouco sobre testes de convergência, especificamente o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert).

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão do termo geral da série. A gente tem o denominador sumn=1^infty n^22^n cdot n! . Isso pode ser escrito como , porque cada termo é múltiplo de 2 e temos n desses termos. Então, a série fica:

Passo 3

Agora, para verificar se essa série converge ou diverge, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o comportamento da série observando a razão entre termos consecutivos. A regra é:
L = limn to infty | an+1an |
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular an = n^22^n cdot n! e an+1 = (n+1)^22^n+1 cdot (n+1)! :
an+1an = (n+1)^22^n+1 cdot (n+1)! cdot 2^n cdot n!n^2 = (n+1)^22 cdot (n+1) cdot n^2 = n+12n^2
Agora, vamos formar a razão :

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty n+12n^2 = limn to infty 1 + 1n2n = 0 tende ao infinito:
Porque tende a zero e também tende a zero.

Resposta

Como , pelo Teste da Razão, a série converge.

Exercícios relacionados

Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
© sumn=1^infty sen n4^n
y^2(1-x^2) dy = arcsen(x) dx, para y(0) = 1.
Classifique as afirmações abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F) dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
(e) ( ) Se sumn=1^+infty an diverge, então lim n +infty an=L neq 0;
Use o Teste da Integral para verificar a convergência ou não das séries abaixo.
(a) sumn=1^infty 1raizn+2