Use o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge. Caso o teste seja inconclusivo, então diga.
sumn=1^infty 3^nn!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar o Teste da Razão para determinar se a série
sumn=1^infty 3^nn!
converge ou diverge. O Teste da Razão é uma ferramenta que ajuda a verificar a convergência de séries infinitas usando o limite da razão entre termos consecutivos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como aplicar o Teste da Razão. Para uma série L = limn to infty | an+1an | , calculamos:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

No nosso caso, an+1 = 3^n+1(n+1)! . Vamos encontrar :

Passo 4

Agora, calculamos a razão an+1an = 3^n+1(n+1)!3^nn! = 3^n+1 cdot n!3^n cdot (n+1)! = 3 cdot 3^n cdot n!3^n cdot (n+1) cdot n! = 3n+1 :

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite L = limn to infty 3n+1 :
L = limn to infty 3n+1 = 0
À medida que aumenta, também aumenta sem limites, então:

Passo 6

Comparando 0 < 1 com 1:
Segundo o Teste da Razão, se , então a série converge.

Resposta

Portanto, pela aplicação do Teste da Razão, a série
sumn=1^infty 3^nn!
converge.

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