Resolver a equação diferencial ordinária
2 x y'' + (x + 1) y' + y = 0
aplicando o método de Frobenius.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária
Esse tipo de equação aparece quando queremos encontrar funções que satisfaçam certas condições. Para resolver, vamos usar o método de Frobenius, que é útil quando temos uma equação diferencial com coeficientes que não são constantes e pode ter singularidades. Vamos precisar entender um pouco sobre séries de potências e como elas podem ser usadas para resolver equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que o coeficiente de seja 1. Dividindo tudo por , temos:
Isso facilita a aplicação do método de Frobenius.

Passo 3

No método de Frobenius, assumimos que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em 0:
onde é o expoente a ser determinado e são os coeficientes da série.

Passo 4

Calculamos as derivadas de :

Passo 5

Substituímos , e na equação diferencial reescrita:

Passo 6

Multiplicamos cada termo pelos denominadores para simplificar:

Passo 7

Ajustamos os índices das somas para que todas comecem com :

Passo 8

Igualamos os coeficientes de cada potência de a zero. Para o menor expoente ( ), temos a equação indicial:
Simplificando:
Então, ou .

Passo 9

Escolhemos para encontrar a primeira solução. Com , e , podemos determinar os coeficientes recursivamente a partir da equação geral obtida na comparação dos coeficientes.

Passo 10

Para cada , a relação de recorrência fica:
Substituindo :
Simplificando:

Passo 11

Calculamos os primeiros coeficientes:
  • Para :
  • Para :
E assim por diante. Observamos que todos os são zero, exceto .

Passo 12

Assim, a primeira solução é simplesmente:
Podemos escolher para simplificar, então:

Passo 13

Para a segunda solução, escolhemos e repetimos o processo. Sem entrar em muitos detalhes, seguimos os mesmos passos e encontramos que a segunda solução envolve funções mais complexas, como logaritmos, devido à multiplicidade das raízes da equação indicial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
onde e são constantes arbitrárias.

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