Resolver a equação diferencial ordinária
aplicando o método de Frobenius.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária
Esse tipo de equação aparece quando queremos encontrar funções
que satisfaçam certas condições. Para resolver, vamos usar o método de Frobenius, que é útil quando temos uma equação diferencial com coeficientes que não são constantes e pode ter singularidades. Vamos precisar entender um pouco sobre séries de potências e como elas podem ser usadas para resolver equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que o coeficiente de
seja 1. Dividindo tudo por
, temos:
Isso facilita a aplicação do método de Frobenius.
Passo 3
No método de Frobenius, assumimos que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em 0:
onde
é o expoente a ser determinado e
são os coeficientes da série.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação diferencial reescrita:
Passo 6
Multiplicamos cada termo pelos denominadores para simplificar:
Passo 7
Ajustamos os índices das somas para que todas comecem com
:
Passo 8
Igualamos os coeficientes de cada potência de
a zero. Para o menor expoente (
), temos a equação indicial:
Simplificando:
Então,
ou
.
Passo 9
Escolhemos
para encontrar a primeira solução. Com
, e
, podemos determinar os coeficientes
recursivamente a partir da equação geral obtida na comparação dos coeficientes.
Passo 10
Para cada
, a relação de recorrência fica:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 11
Calculamos os primeiros coeficientes:
- Para
:
- Para
:
E assim por diante. Observamos que todos os
são zero, exceto
.
Passo 12
Assim, a primeira solução é simplesmente:
Podemos escolher
para simplificar, então:
Passo 13
Para a segunda solução, escolhemos
e repetimos o processo. Sem entrar em muitos detalhes, seguimos os mesmos passos e encontramos que a segunda solução envolve funções mais complexas, como logaritmos, devido à multiplicidade das raízes da equação indicial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
e
são constantes arbitrárias.